WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Snijpunt richtingslijn en vlak

Ik heb een lijn door de oorsprong waarvan alleen de richting bekend is: dwz hoek e in het horizontale vlak en hoek f in het verticale vlak.
Verder heb ik een vlak gedefinieerd door ax+by+cz=d.
Wat zijn de coordinaten van het (eventuele) snijpunt?

Peter
Iets anders - zaterdag 5 juli 2003

Antwoord

Je kunt van de lijn een vectorvoorstelling opstellen:
v = l·r
waarbij l een parameter is, en r een richtingsvector, waarvan we de lengte 1 kiezen.
De x-, y- en z-waarde van r noem je even x, y en z, en die reken je uit door middel van de gegeven hoeken.
Vervolgens vul je de kentallen van v in in de vergelijking van het vlak, waardoor je de waarde van l kunt berekenen.
Een voorbeeld:
Het vlak waarmee gesneden wordt heeft vergelijking:
2x + 3y + 4z = 10
De hoek van de lijn met het xy-vlak is 63 graden, en de hoek met het yz-vlak is 41 graden. Er zijn dan acht mogelijke richtingsvectoren. Ik kies maar degene die positieve x-, y- en z-waarde hebben.
Omdat de lengte van r gelijk is aan 1, geldt:
z = cos(63) = 0.454
x = cos(41) = 0.755
y = Ö(1 - x² - z²) = 0.474
vul nu l·r = [0.755l, 0.474l, 0.454l] in de vergelijking van het vlak:
4.746l = 10, dus l = 2.107
vul dit in de vectorvoorstelling in, en je hebt je snijpunt.

NB. Bij nader inzien denk ik dat de gegeven hoeken waar je over spreekt, niet de hoeken van de lijn met het xy-vlak en het xz-vlak zijn, maar dat hoek e de hoek van de projectie van de lijn op het xy-vlak met de positieve x-as is, en dat hoek f de hoek van de lijn met de positieve y-as is. In dat geval is het nog wat eenvoudiger, en bovendien eenduidig.
Hoek e en f liggen dan tussen 0 en 180 graden.
In dat geval geldt voor x, y en z;
x = sin(f)·sin(e)
y = sin(f)·cos(e)
z = cos(f)
Voor de rest gaat het zoals boven beschreven.
groet,

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 5 juli 2003