WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Exacte differentiaalvergelijkingen

Hoi,

Ik heb twee korte vragen over het onderwerp exacte differentiaalvergelijkingen.

De eerste gaat over de formule: (e^(x+y)+1) dy/dx + (e^(x+y)-1) = 0
Deze vergelijking is exact, en ik kan ‘m verder helemaal oplossen, alleen aan het einde snap ik iets niet:
dE/dx = e^(x+y)-x + C(y)
dE/dy = e^(x+y) + C’(y)

Wat houdt dat met die C’s in? Dat is waarschijnlijk een constante die er bij komt, maar ik snap niet wanneer dat nu een formule inhoudt, en wanneer gewoon een constante.

Dan de volgende formule:
dy/dx = y/(y^2-x)
Dan krijg je dus: (y^2-x)dy = y dx, waarbij het dx-gedeelte P is, en het dy-gedeelte Q.
dP/dy moet dan gelijk zijn aan dQ/dx om een exacte differentiaalvergelijking te zijn.
dP/dy is hier 1, en dQ/dx = -1, dus dan kun je er verder toch nix meer mee?
Als antwoord wordt echter gegeven: y^3-3xy = C

Alvast heel erg bedankt!

Jeroen
Iets anders - zondag 29 juni 2003

Antwoord

Eerste vraag:
Omdat je hier een functie E introduceert, die een functie is van twee variabelen, namelijk x en y, en je dus met partiële afgeleiden werkt, kun je bij het integreren best een constante krijgen die weliswaar constant is in x, maar nog kan variëren in y.
Daarom die C(y).
Om de complete functie E te vinden, moet je de gevonden E nog eens differentiëren naar y, en krijg je dus ook een C'(y).
Je kunt deze C'(y) nu berekenen, omdat je weet wat dE/dy is uit de oorspronkelijke exacte differentiaalvergelijking.
Dus kun je ook C(y) vinden.

Tweede vraag:
Voor je gaat controleren of de partiële afgeleiden gelijk zijn aan elkaar, moet je eerst de vergelijking op 0 herleiden. Daardoor wordt dP/dy ook gelijk aan -1, en is de differentiaalvergelijking wel degelijk exact.

groet,

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 30 juni 2003