WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Silhouetten van regelmatige veelvlakken

Hoe bepaal je, gegeven een kijkpunt(v1,v2,v3) en het middelpunt van het regelmatige veelvak (o1,o2,o3) of je van een zijde AB van het regelmatige veelvlak de binnenkant dan wel de buitenkant ziet, er van uitgaand dat alle andere zijdes doorzichtig zijn.

P.S.
Ok! Een - hopelijk - duidelijker gestelde vraag.
Je staat in een 3dimensionale ruimte vanaf kijkpunt K(Kx,Ky,Kz) (Vb: K(0,0,10)) naar een van de regelmatig veelvlakken Tetraeder, Icosaeder, Dodecaeder, Hexaeder, Octaeder) te kijken waarvan het middelpunt samenvalt met de Oorsprong O. Het regelmatige veelvlak kan worden omsloten door een bol met straal 1.

Hoe bepaal je of je vanuit het kijkpunt, tegen de binnenkant dan wel de buitenkant van een zijde van het regelmatige veelvlak aankijkt, er van uitgaand dat alle ander zijdes doorzichtig zijn. Ik ben dus op zoek naar een test die, gegeven een Kijkpunt K, van 2 hoekpunten van een zijde van het regelmatig veelvlak, bepaalt of van een zijde de binnenkant dan wel de buitenkant gezien wordt.
Sjors
Student universiteit - vrijdag 27 juni 2003

Antwoord

NB. ik spreek liever van ribbe in plaats van zijde, omdat er anders verwarring kan ontstaan met een zijvlak.
Ik heb de situatie uitgewerkt voor de kubus ABCD.EFGH
Ik hoop dat je dan voldoende inspiratie krijgt om verder te zoeken naar het antwoord voor de overige veelvlakken.
Stel je weet de coordinaten van A en B. Noem de bijbehorende vectoren a en b

Ik hoop dat je bekend bent met begrippen als inproduct en uitproduct, anders moet je dat nog maar een keer vragen.

AB is snijlijn van de vlakken ABC en ABF.
De kunst is nu, om uit de coördinaten van A en B die van C en F te vinden.
Dat kan als volgt.
Bereken eerst een hulpvector
(a-b)*(a+b)
Met * bedoel ik het uitproduct.
Deze vector moet vervolgens gedeeld worden door tweemaal de lengte van de vector a-b. Noem het resultaat v.
Vector c en f vind je nu door:
c = ¹/₂(b - a) - v
f = ¹/₂(b - a) + v

Dit levert van elk van de vlakken ABC en ABF drie punten, en dus een normaalvergelijking
n·x = n·a
en
m·x = m·a
(Met · bedoel ik hier het inproduct.)
Kies hierbij n en m zo dat beide rechterleden positief zijn.
Als het kijkpunt voor beide vlakken aan dezelfde kant als O ligt, dan kijk je naar de binnenkant van de ribbe, en anders naar de buitenkant.
Dus:
als n·k n·a
en m·k m·a
dan kijk je naar de binnenkant.
succes met de rest,
groet

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 30 juni 2003