WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Grafiek van de mandelbrotfractal

Dit is een reactie op vraag 12756

ja ok, maar als je met getallen voorbeelden moet laten zien hoe een mandelbrotfractal ontstaat, hoe doe je dat dan?

als je bijv. C=0,5+i neemt
dan heb je dus het punt (0,5;1), als eerste punt
het tweede punt is dan: C²+C
dus (0,5+i)²+(0,5+i)= ((0,5*0,5-1*1)+i(0,5*1+0,5*1))+(0,5+i)
=(-0,75+i)+(0,5+i)= -0,25+2i

en als je dat steeds doet en je krijgt dan steeds dezelfde antwoorden dan is dat een punt van een mandelbrotfractal

klopt dat?
suus
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 23 juni 2003

Antwoord

Eigenlijk niet helemaal. Het is gemakkelijker te bewijzen dat een punt niet tot de verzameling behoort, dan het omgekeerde.

Je kan niet zo *heel* moeilijk bewijzen dat als een term van de rij buiten de cirkel met straal 2 (die dus overeenkomt met complexe getallen van modulus 2) ligt, dat die rij dan onbegrensd wordt.

In het bijzonder zal dat zo zijn als |C|2, zodat de Mandelbrotverzameling zeker binnen deze cirkel ligt, maar het kan ook pas na een aantal iteraties zijn dat deze cirkel wordt verlaten.

Dat is ook wat de kleurtjes meestal betekenen in afbeeldingen van de Mandelbrot-verzameling. Ze zijn een aanduiding voor hoe lang het duurt om vertrekkend van die C-waarde buiten de cirkel te belanden en dus zonder twijfel tot divergentie te leiden.

Maar op zich heeft de Mandelbrot-verzameling natuurlijk geen kleurtjes: ofwel behoort een punt er toe, of wel niet.

Voorbeelden :

zou het kunnen dat 1+i in de Mandelbrot-verzameling ligt?
1+i - (1+i)²+(1+i) = 1+3i - modulus Ö10 2 - neen

zou het kunnen dat 0.2+i in de Mandelbrot-verzameling ligt?
0.2+i - -0.76+1.4i - -1.1824-1.128i - 0.32568576+3.6674944i - modulus 2 - neen

Je zou een hele boel punten binnen de cirkel kunnen afspeuren en een maximum aantal iteraties voorop stellen, bijvoorbeeld 100. Als je na 100 iteraties nog steeds binnen de cirkel zit, is er een kans dat het punt tot de Mandelbrot-verzameling behoort, anders behoort het er zeker niet toe. Hoe meer iteraties, hoe meer punten je op die manier kan uitsluiten. En zo krijgt de Mandelbrot-verzameling steeds meer vorm.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 23 juni 2003