WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Veranderen van assenstelsel

Dit is een reactie op vraag 12528

hélo ongeloofelijk bedankt!!

2x^2 +3xy + 6x +5y - 9 = 0

In de eerste opgave moet je dus inderdaad een verschuiving uitoveren zodat de termen van de eerste graad verdwijnen. En dan een vergelijking van de kromme in het nieuwe assentelsel bekomen.

Voor die eerste vraag snap ik de hele uitwerking maar de redenering die hier achter zit versta ik nog niet helemaal.... vooral nie hoe je opeens aan die p=-b/2a
q=f(p)

Je zou je ook kunnen afvragen of je ook de lineaire term kan wegkrijgen door enkel te verschuiven.

2ap+b=0
ap2+bp+c-q=0

Stel f(x)=ax2+bx+c. Dan kan die laatste vergelijking geschreven worden als f(p)-q=0. De oplossingen van het stelsel zijn dan

p=-b/2a
q=f(p)

of anders gezegd: je kan de constante EN de lineaire term wegkrijgen door het assenstelsel te verschuiven naar de top van de parabool.

Ons hoofdstuk: affien en euclicdische coordinaten en allles wat erbij hoort :) ook dus coordinatentransformatie en dergelijk zou ik ook moetn verstaan.

ps hopelijk zie je het nog zitten want morgen examen!!:'(
Bernar
3de graad ASO - dinsdag 17 juni 2003

Antwoord

[Het gebruik van kleine of grote letters (x,y,X,Y) is cruciaal in dit antwoord!]

Je moet gewoon inzien dat als je een coordinaatsas een bepaald aantal eenheden verschuift, dat de coordinaten van de punten afnemen met datzelfde aantal eenheden.

Verschuif de y-as p eenheden naar rechts en noem die nieuwe as de Y-as. Door die verschuiving worden de horizontale coordinaten p eenheden kleiner. Dus X = x-p of omgekeerd x = X+p.

Verschuif de x-as q eenheden naar boven en noem die nieuwe as de X-as. Door die verschuiving worden de horizontale coordinaten q eenheden kleiner. Dus Y = y-q of omgekeerd y = Y+q.

Die formules geven dus het verband weer tussen coordinaten in het originele assenstelsel en coordinaten in het nieuwe assenstelsel. Merk ook op dat beide verschuivingen overeenkomen met het verschuiven van de oorsprong naar het punt (p,q).

De vraag over de parabool

In het oude assenstelsel zijn er punten (x,y) waarvoor y=ax²+bx+c. Dat zijn de punten van de grafiek. Wat is de vergelijking van de parabool in het nieuwe assenstelsel? Wat is de voorwaarde opdat een punt met coordinaten (X,Y) tov van de nieuwe assen, op de grafiek zou liggen?

Daartoe substitueren we gewoon de transformatierelaties in de voorwaarde van het oude assenstelsel.

Y + q = a(X+p)² + b(X+p) + c
Y = aX² + 2aXp + ap² + bX + bp + c - q
Y = X²(a) + X(2ap+b) + (ap² + bp + c - q) (*)

In het nieuwe assenstelsel kunnen we dus zeggen dat een punt (X,Y) tot de grafiek behoort als voldaan is aan (*).

Als de vraag zou zijn "verschuif het assenstelsel zodanig dat de lineaire term en de constante term verdwijnen in dit nieuwe assenstelsel" dan moeten we dus er voor zorgen dat

2ap+b=0
ap²+bp+c-q=0

Uit de eerste vergelijking volgt direct dat p=-b/2a. Uit de tweede volgt direct dat q=ap²+bp+c. Je kan in die laatste eventueel de gevonden waarde voor p invullen, maar dan verlies je het inzicht dat ik al vermeldde. Want aangezien

ap²+bp+c=f(p), moet q dus gelijk zijn aan f(p).

De betekenis hiervan heb je al geleerd in het derde of vierde jaar. Toen is je geleerd dat -b/2a de x-coordinaat is van de top van de parabool met vergelijking y=ax²+bx+c. f(p) is dan natuurlijk gewoon de functiewaarde in de top. Als je dus het assenstelsel naar de top verschuift, wordt de vergelijking in dat nieuwe assenstelsel Y=aX² (zoals je ziet in (*))

De andere vraag

We gaan weer op zoek naar een verschuiving die aan de vereisten voldoet. Substitueer weer dezelfde transformatie in de gegeven vergelijking. Je bekomt

2X² + 4Xp + 2p² + 3XY + 3Xq + 3pY + 3pq + 6X + 6p + 5Y + 5q - 9 = 0

of na wat rangschikken

2X² + 3XY + X(4p+3q+6) + Y(3p+5) + (2p²+3pq+6p+5q-9) = 0

Als de lineaire termen moeten verdwijnen dan moet dus

4p+3q+6 = 0
3p+5 = 0

of dus p=-5/3 en q=2/9. We moeten de oorsprong dus verschuiven naar het punt (-5/3,2/9). De vergelijking van de kromme in het nieuwe assenstelsel wordt met die waarden

2X² + 3XY - 121/9 = 0.

Snappie een beetje? Veel succes met je examen!

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 17 juni 2003