WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Goniometrische vergelijking oplossen

Hallo wisfaq,

Ik snap deze opgave niet:

Geg: f(x)= (sin² x)/x met domein [-2p,2p]
Gevraagd:
A) los op f(x)=0
B) bepaal lim x--0 f'(x)
Ik dacht om A) (sin² x)/x
boven en onder te delen door x krijgt men:
sin²= 0 maar dat gaat natuurlijk niet want er is geen x aanwezig, hoe doet men dit dan ?
Bij B heb ik helemaal geen idee hoe men dat moet aanpakken.
Ik hoop dat iemand me kan laten zien hoe men dit moet doen.
Het wiskunde examen tweede tijdvak begint al steeds dichter bij te komen...
David
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 5 juni 2003

Antwoord

Laten we beginnen bij je opmerking over het delen door x. Zo te zien streep je de x uit de noemer en de x áchter de sinus gewoon tegen elkaar weg. Dat is een behoorlijk ernstige fout! De x ónder de streep is gewoon een 'vrije' x ,maar de x bóven de streep is bepaald niet vrij. Die x is met handen en voeten gebonden aan de sinus.
Je zou, volgens jou, dan overhouden sin² = 0.
Maar wat moet je je eigenlijk voorstellen bij het losse symbool sin² ? Als daar niks achter staat, dan stelt het toch helemaal niks meer voor?
Je kunt toch ook niets beginnen met Ö = 0 of met log = 0 enz.
Of wat denk je van het volgende voorbeeld?
Stel je hebt de deling: f(x)/x waarbij f een of andere functie is.
Zou je de x daar gewoon uit 'wegdelen', dan zou je volgens jou overhouden f()/1, maar als er tussen de haakjes van de f niets staat, dan heeft het toch geen betekenis meer?
In het algemeen zou ik je willen aanraden: als je twijfelt of je iets kunt wegstrepen, doe het dan maar niet!

Hoe dan wel?

Uit (sin²x)/x = 0 volgt dat sin²x = 0, maar óók dat x ¹ 0 dient te zijn (vanwege de noemer!)
Uit sin²x = 0 volgt dan weer dat sin(x) = 0, zodat je nu vindt x = k.p (waarbij k een heel getal moet zijn).
Gezien het domein en de opmerking over de noemer hou je dan over: x = -2p of x = -p of x = p of x = 2p

Voor de tweede vraag is de afgeleide nodig, hetgeen met de quotiëntregel moet.
f'(x) = [(x).2.sin(x).cos(x) - (sin²x).1]/(x²) en daar kun je van maken [2.sinx.cosx]/x - (sin(x)/x)²

Nu moet je in beide breuken herkennen een zogenaamde standaardlimiet, namelijk dat sinx/x tot 1 nadert wanneer x ®0.
De eerste breuk nadert dan tot 2.1.1 (de laatste 1 komt van cos(0) = 1) en de tweede breuk tot 1².
Na aftrekking wordt het dus 1.

MBL

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 5 juni 2003

Re: Goniometrische vergelijking oplossen