WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Stelsel met meerdere variabelen

Hoe los je op

x + 2y + 3z = 5
2x - 3y - 10z = 7
x - y + z =-6

en
a + 2b - 5c + 3d = 23
a - b - c + d = 11
a - 3b - d = 8
3a + 8b + 2c = 16

Elk rijtje met ongelijkheden is 1 stelsel.

Met vriendelijke groetjes,

Eveline en Sabrina
Evelin
Leerling bovenbouw havo-vwo - woensdag 4 juni 2003

Antwoord

Beste Eveline Schut,
Er zijn meerdere wegen die naar het antwoord leiden.
Ik zal voor jou de eerste op twee verschillende manieren doen, dan mag je zelf de tweede eerst zelf proberen.

We hebben dus:
x + 2y + 3z = 5
2x - 3y -10z = 7
x - y + z =-6

Manier 1:
Ik begin met de eerste en laatste van elkaar af te trekken:
x + 2y + 3z = 5
x - y + z =-6
--------------- -
3y + 2z = 11 (x-x=0, 2y--y=3y,3z-z=2z,5--6=11)

Nu gebruik ik de eerste en de tweede. Echter ik wil dat de 'x' verdwijnt dus vermenigvuldig ik eerst de eerste met 2:
x + 2y + 3z = 5 (beide kanten keer 2 geeft:)
2x + 4y + 6z = 10
Nu de tweede erbij halen en van elkaar aftrekken:
2x + 4y + 6z = 10
2x - 3y - 10z = 7
----------------- -
7y + 16z = 3

We hebben dus nu gevonden:
3y + 2z = 11
7y + 16z = 3

Ik moet nog 1 variabale wegwerken. De 'z' is makkelijk, als we de eerste met 8 vermenigvuldigen:
3y + 2z = 11 (x8)
24y + 16z = 88
En zo krijgen we dus:
24y + 16z = 88
7y + 16z = 3
-------------- -
17y = 85

Ofwel y = 85/17 = 5

Nu kunnen we de andere op verschillende manieren ook vinden:
7y+16z=3 = 7·5+16z=3 =16z=-32 = z = -2
x+2y+3z=5 = x+2·5+3·-2=5 = x+10-6=5 =x = 1

Conclusie:
x=1
y=5
z=-2

Manier 2:
Deze manier herschijf je eigenlijk steeds naar een variabele.
Uit x + 2y + 3z = 5 volgt dat:
x = 5 - 2y - 3z
Invullen in de tweede 2x - 3y -10z = 7 geeft:
2·(5 - 2y - 3z) - 3y -10z = 7
10 - 4y - 6z - 3y -10z = 7
10 - 7y - 16z = 7
Ofwel:
10 - 7 - 16z = 7y
3 - 16z = 7y
3/7 - 16/7·z = y
3/7 - 2 2/7·z = y

Dit kunnen we opnieuw invullen in de vergelijking die we voor x hadden x = 5 - 2y - 3z:
x = 5 - 2·(3/7 - 2 2/7·z) - 3z
x = 5 - 6/7 + 4 4/7z - 3z
x = 4 1/7 + 1 4/7·z

We hebben dus nu:
x = 4 1/7 + 1 4/7·z
y = 3/7 - 2 2/7·z

Merk hier op dat als we dus z weten, we x en y makkelijk kunnen berekenen.

Beide invullen in de derde gegeven vergelijking x - y + z =-6) geeft:
4 1/7 + 1 4/7·z - (3/7 - 2 2/7·z) + z =-6
4 1/7 + 1 4/7·z - 3/7 + 2 2/7·z + z =-6
3 5/7 + 4 6/7·z =-6
4 6/7·z =-9 5/7
z = -2

Nu gebruiken we de formules om x en y te vinden:
x = 4 1/7 + 1 4/7·z
x = 4 1/7 + 1 4/7·-2
x = 4 1/7 - 3 1/7
x = 1

y = 3/7 - 2 2/7·z
y = 3/7 - 2 2/7·-2
y = 3/7 + 4 4/7·z
y = 5

Conclusie:
x = 1
y = 5
z = -2

Opnieuw dezelfde antwoorden.
In dit geval lijkt manier 2 erg omslachtig, maar is soms 'mooier' dan manier 1.

We kunnen trouwens ook nog even extra controleren of de antwoorden wel kloppen door ze gewoon in te vullen:
x + 2y + 3z = 5
1 + 10 - 6 = 5
Klopt

2x - 3y -10z = 7
2 - 15 + 20 = 7
Klopt

x - y + z =-6
1 - 5 - 2 = -6
Klopt

Als je nog steeds niet uit de tweede komt, stuur dan een nieuwe vraag op.

M.v.g.
P.H.S.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 4 juni 2003