WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Cirkelbewegingen

We zijn nu bezig met een hoofdstuk "Cirkelbewegingen". Maar we krijgen zoveel informatie dat ik door de bomen het bos niet meer kan zien. Zou u aub mij hierover wat dingen kunnen uitleggen.

- Ze hebben het vaak over een bewegingsvergelijking in de vorm van: x = cos(T + p)
y = sin(T + p)
Maar het is mij nogsteeds niet helemaal duidelijk wat de 'T' nou betekent. Wat ik dacht is dat T een punt op de cirkel is, en dat dan uiteraard, cos(T) de x, en sin(T) de y-coördinaten zijn.
Vervolgens kan je die 'formule', ook nog aanpassen zodat hij 2x zo langzaam gaat en dat hij ergens anders start enz...maar dit leggen ze nauwelijks uit in ons boek, daar zou ik ook graag wat uitleg over willen hebben.

- Verder moest je ook nog punten herleiden op de eenheidscirkel. Als hulp gebruiken we de sinus- en cosinus grafiek. Bv y=³/₄, op de grafiek zijn dat natuurlijk oneindig veel punten, maar op een circel kan dat er toch maar 1 zijn? Dat schrijf je dan uit als y = ... + 2kp
Ik ben wat vaag, maar dat komt omdat ik er weinig van snap. Als ik té onduidelijk ben, zou ik proberen het te verduidelijken, maar ik hoop dat dit genoeg is.

Alvast hartelijk bedankt!

Rens S
Leerling bovenbouw havo-vwo - zaterdag 31 mei 2003

Antwoord

In het 'normale' geval van een functie kies je eerst een waarde voor x, vult die waarde in het functievoorschrift in en het resultaat wordt (meestal) y genoemd.
De combinatie van de x en die bijbehorende y levert dan een punt op van de grafiek. Door dit procédé maar vaak genoeg te herhalen ontstaat een stuk van de volledige grafiek van de functie. Dit heb je natuurlijk al heel vaak gedaan.
Nu is het bij functies altijd zo dat je bij het invullen van een waarde voor x precies één y-waarde krijgt. Dat heeft tot gevolg dat er bij de grafiek van een functie nooit punten boven elkaar kunnen komen te liggen.
Bij de zogenaamde parametervoorstellingen, want zo heten die vergelijkingen waarin t staat, is het wél mogelijk om punten boven elkaar te krijgen.

Laten we eens uitgaan van de twee vergelijkingen x = cos(t) en y = sin(t). Bij de letter t moet je gewoon aan tijd denken.
Zodra je een waarde voor t kiest, kun je de bijbehorende waarden voor x en voor y berekenen. Als je bijvoorbeeld kiest t = ¹/₃p, dan is x = cos(¹/₃p) = ¹/₂ en y = sin(¹/₃p) = ¹/₂Ö3
De combinatie van de x en de y levert nu weer een punt op van de bijbehorende grafiek, namelijk het punt (¹/₂,¹/₂Ö3).
Het is alsof je je op tijdstip t = ¹/₃p in dat punt van de kromme bevindt.
Door nu voor t steeds andere waarden te kiezen, krijg je steeds meer punten van de grafiek te zien. Het verschil met de functie is duidelijk: bij functies was de y steeds afhankelijk van de x, maar in dit geval worden zowel de x als de y los van elkaar bepaald.
In dit voorbeeld blijken alle punten die je op deze manier vormt een cirkel met straal 1 rond de oorsprong op te leveren. Dat komt omdat x² + y² = cos²t + sin²t = 1.

Als je nu start met de parametervoorstelling x = cos(2t) en y = sin(t), dan zie je aan de formule voor de x dat de periode p bedraagt, terwijl de periode voor de y twee keer zo groot is, namelijk 2p.
Als je dus voor t alle waarden van 0 t/m 2p zou nemen, dan loopt de x-waarde harder dan de y waarde, hetgeen natuurlijk invloed heeft op de grafiek.

Zo ook met het startpunt waar je naar vraagt.
In het algemeen laat je de grafieken van y = sin(t) en y = cos(t) starten bij t = 0.
Maar als bijv. x = cos(t) en y = sin(t - ¹/₂p), dan moet je voor t de waarde ¹/₂p invullen om sin(0) te krijgen, en daarom kun je zeggen dat de sinus pas bij ¹/₂p start.

Het lijkt me het beste dat je eens wat experimenteert met je rekenmachine. Via de mode-knop kun je hem op PAR zetten, en als je dan op de y-knop drukt zul je zien dat je voor x en voor y aparte functies van t kunt invoeren.
Voer dan maar eens wat gonio-vormen in die je in je boek ziet staan en laat de grafiek maar eens getekend worden. Vergeet niet dat je in radialen moet werken!
Laat t ook eens kortere of juist grotere intervallen doorlopen (Window-knop). Je zult zien dat je dan maar stukjes van de grafiek gaat zien of dat de grafiek zichzelf herhaalt.

Hopelijk zie je er iets meer de betekenis van in, maar het onderwerp is té omvangrijk om hier uitgebreid uit de doeken te kunnen doen. Aarzel echter niet om met nieuwe vragen terug te komen als het niet lukt.

MBL

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 31 mei 2003