WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Vergelijking van een cirkel

gegeven zijn 2 cirkels x²+y²+6y-8=0 en x²+y²+2x+2y-2=0. nu moet ik een vergelijking geven van een derde cirkel die door de snijpunten van deze twee cirkels gaat en de x as raakt.
graag enige hulp
met vr gt
piet
piet
Student hbo - zondag 25 mei 2003

Antwoord

Ik zou het zo aanpakken:

1. eerst even de vgl van de cirkels een beetje herschrijven zodat ze er wat herkenbaarder uit zien, EN je zodoende een schetsje kunt maken (!) van de situatie.

C1: x²+y²+6y-8=0 Û x²+y²+6y +9-9-8=0 Û
x² + (y+3)² -17 = 0 Û x² + (y+3)²=17
C1 betreft dus een cirkel met middelpunt (0,-3) en straal r=Ö17.

C2: x²+2x+y²+2y-2=0 Û
x²+2x +1-1 + y²+2y +1-1 -2 = 0 Û
(x+1)²-1 + (y+1)² -1 -2 = 0 Û
(x+1)²+(y+1)²= 4
C2 betreft dus een cirkel met middelpunt (-1,-1) en straal r=Ö4 = 2

schets...

Nu het feitelijke probleem:
Wanneer 2 cirkels elkaar snijden, levert dat 2 snijpunten op. Een cirkel waarvan geeist wordt dat ze door deze 2 snijpunten gaat, heeft haar middelpunt op de middelloodlijn van de 2 snijpunten

Wanneer je dan ook nog eist dat de gezochte cirkel aan de x-as raakt, is dat hetzelfde als eisen dat een bepaald punt op voorgenoemde middelloodlijn (dit punt is M) dezelfde afstand heeft tot een van de snijpunten als tot de x-as.

Eerst dus maar eens op zoek naar de snijpunten van de 2 cirkels C1 en C2:
x²+y²+6y=8
x²+2x+y²+2y=2

verschil = -2x+4y=6. Þ x=2y-3
vul dit in in C1:
4y²-12y+9+y²+6y=8 Û 5y²-6y+1=0
Þ (abc-formule) y_1,2=(6±4)/10
ofwel y₁=1/5 Ú y₂=1
vul deze in in x=2y-3
hieruit volgen de snijpunten:
S₁(-13/5, 1/5); S₂(-1,1)

Het midden van S1 en S2 noemen we P, dit punt P ligt dus op de middelloodlijn:
p=¹/₂(S₁+S₂)=(-9/5, 3/5)
de richtingsvector S1S2 = S2-S1 = (8/5, 4/5), dus de vector hier loodrecht op is de richtingsvector van de middelloodlijn k: (1,-2)
(k ^ S1S2 want hun inproduct is nul)
Zodoende heb je nu een vectorvoorstelling van k.
k: (x,y) = (-9/5, 3/5) + l.(1, -2)

Het middelpunt M van de gezochte cirkel
a. ligt op k
b. d(M, S2) = d(M, x-as) d=distance=afstand

a. M(-9/5+l, 3/5-2l)
b. |S2-M|=|3/5 - 2l|
enz...

zou je het nu zelf kunnen afmaken?

groeten,
martijn

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 25 mei 2003