WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

123456789

Hallo,

De volgende vraag kan ik niet oplossen:

Je moet de getallen 1 t.e.m. 9 zo rangschikken dat het deelbaar is door 9
Als je het laatste getal weglaat moet het deelbaar zijn door 8.
Als je het laatste getal weglaat moet het deelbaar zijn door 7.
Als je het laatste getal weglaat moet het deelbaar zijn door 6.
Als je het laatste getal weglaat moet het deelbaar zijn door 5.
Enzovoort...
Jo
3de graad ASO - maandag 5 mei 2003

Antwoord

Kenmerken van deelbaarheid:
In het algemeen kun je aan de hand van de volgende kenmerken vrij snel zien of een getal deelbaar is.

1: alle gehele getallen zijn deelbaar door 1
2: alle getallen die even zijn; oftewel eindigen op 0, 2, 4, 6 of 8
3: de som van de cijfers is deelbaar door 3
4: de laatste twee cijfers deelbaar door 4 zijn (even!).
5: getal eindigt op 0 of 5
6: deelbaar door 2 (dus even!) en 3
7: (dit heeft niet een heel makkelijk deel kenmerk)
8: de laatste 3 cijfers zijn deelbaar door 8 (even!)
9: de som van de cijfers is deelbaar door 9
dit wist je al van een vorige vraag die je stelde...

1-deelbaarheid
- dit is een nutteloze eis

2,4,6,8-deelbaarheid
- dit eist dat de getallen op de lokaties 2,4,6,8 even moeten zijn
5-deelbaarheid
- dit eist dat het getal op lokatie 5 een 5 moet zijn
3,6,9-deelbaarheid
- dit eist dat de eerste drie getallen deelbaar zijn door 3, de eerste zes getallen deelbaar zijn door drie en de eerste negen getallen ook deelbaar zijn door 3 (want deelbaar door 9).
Hieruit volgt dat de elk setje van drie getallen deelbaar moet zijn door 3 (ga maar na).

samenvattend is het getal van de volgende vorm: abc.d5f.ghi
waarbij a+b+c, 5+d+f, g+h+i veelvouden zijn van 3.
Ik noem deze clusters van 3 getallen: 3-groep 1 (a,b,c), 3-groep 2 (d,5,f) & 3-groep 3 (g,h,i).
Bovendien geldt dat b,d,f,h even moeten zijn, dit betekent tevens (er zijn maar 4 even getallen) dat a,c,e,g,i allen oneven moeten zijn...

Als drie getallen bij elkaar deelbaar zijn door 3 dan moeten ze uit dezelfde restklasse komen. De restklassen zijn {1,4,7} (deze hebben alle rest 1 wanneer ze door 3 gedeeld worden), {2,5,8} (deze hebben alle rest 2), {3,6,9} (deze hebben alle rest 0 oftewel dit zijn veelvouden van 3).
Een andere mogelijkheid is om per 3-groep een getal te kiezen uit elke restklasse.

mogelijkheid 1: 3-groep 2 = {2,5,8} (over: {1,4,7}, {3,6,9}...)
1a: 3-groep 2 = def = 852
4-deelbaarheid leert nu dat er geen mogelijkheden zijn want 18, 78, 38, 98 zijn alle geen veelvoud van 4.
1b: 3-groep 2 = def = 258
8-deelbaarheid leert nu gh= 96 want 814, 874 & 836 zijn alle geen veelvoud van 8 maar 896 is dit wel.
maar als gh vastligt dan ligt ghi dit ook, dus ghi=963.
4-deelbaarheid leert dat c= 1 of 7 want 12 en 72 zijn beide deelbaar door 4.
resten nog twee mogelijkheden te proberen, nl 147.258.963 en 741.258.963, welke beide niet voldoen...

mogelijkheid 2: 3-groep 2 = {4,5,6} dit is de enige andere mogelijkheid omdat d&f beide even moeten zijn en er slechts een uit elke groep gekozen mag worden...
over: {1,7}, {2,8}, {3,9} waarbij 3-groep 1&3 samengesteld worden door een getal uit elk groepje te kiezen.
2a: 3-groep 2 = def = 456
4-deelbaarheid leert nu dat er geen mogelijkheden zijn want 14, 74, 34 & 94 zijn alle geen veelvoud van 4.
2b: 3-groep 2 = def = 654
8-deelbaarheid leert nu gh= 32 of 72 dus h=2 en b=8 en ons getal heeft de volgende vorm: a8c.654.g2i
4-deelbaarheid leert ons nu niks omdat 16,76,36 & 96 allemaal veelvouden zijn van 4.
ik weet niks anders dan de resterende 8 oplossingen handmatig te berekenen om de 7-deelbaarheid te testen en ik krijg dan de volgende oplossing: 381.654.729. We hebben dus tevens uniciteit bewezen van de oplossing (4 those who may care)

vervolg opgave: dezelfde puzzel met de getallen van 0 t/m 9 en eerst het achterste cijfer weglaten en een 9-veelvoud overhouden, etc, etc, etc... hoeveel oplossingen heeft deze puzzel (eentje weet je er al)

MvdH

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 5 mei 2003