WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Hoe bepaal ik de basis van een lineaire ruimte?

Ik heb de lineaire ruimte:

V = [2 1 0]T, [-1 0 -1]T, [0 1 -2]T

Ik moet hier nu de basis van bepalen.

Ik weet dat het antwoord [2 1 0]T, [-1 0 -1]T KAN zijn, maar vraag me af welke antwoorden nog meer mogelijk zijn?
Ik snap ook niet WAAROM dit een basis is. Wie kan me helpen?
Jacque
Student universiteit - vrijdag 2 mei 2003

Antwoord

De span van een verzameling van N vectoren v(i) is de verzameling van alle vectoren w die je als lineaire combinatie van die gegeven vectoren kunt maken.

w = a(1)v(1)+...+a(N)v(N), a(j) Î
(bij elke vector w horen natuurlijk andere getallen a(j))

We vragen ons nu af: kan ik dezelfde verzameling van vectoren w ook bekomen met een minimaal aantal vectoren v(j)?

Die verzameling van vectoren v(j) noemen we dan EEN basis. Om te weten of je een verzameling vectoren een basis is, moet je je twee vragen stellen:

1) Zijn mijn v(j) voortbrengend? Dat wil zeggen: is de span van de v(j) inderdaad de ruimte die ik wil beschrijven?
2) Zijn mijn v(j) onafhankelijk? Dat wil zeggen: zit er nergens eentje tussen die we eigenlijk kunnen missen?

De vectoren die je opgeeft zijn niet lineair onafhankelijk. (dat kan je snel controleren m.b.v. de determinant). Dat betekent dat er minstens eentje tussen zit die je kan schrijven als lineaire combinatie van andere.

Stel bijvoorbeeld dat v(N) een lineaire combinatie is van enkele andere vectoren v(j). De uitdrukking hierboven voor de willekeurige vector w wordt dan een lineaire combinatie van de vectoren v(1) tot en met v(N-1). We hebben dus die vector v(N) niet meer nodig om onze verzameling te beschrijven.

Jouw voorbeeld:
[2,1,0] + 2[-1,0,-1] = [0,1,-2]
Dus [0,1,-2] hebben we niet nodig, want alle lineaire combinaties waar die vector in betrokken is, zijn ook lineaire combinaties van die andere 2 vectoren.

De twee overblijvende vectoren zijn wel lineair onafhankelijk van elkaar (een verzameling van twee vectoren is lineair onafhankelijk als de ene geen veelvoud is van de andere) en vormen dus EEN basis. Men kan bewijzen dat alle bases hetzelfde aantal vectoren tellen. Dat aantal noemt men de dimensie van de ruimte.

Niet alleen {[2,1,0],[-1,0,-1]} is een basis voor jouw ruimte. ELKE twee vectoren die lineaire combinaties zijn van {[2,1,0],[-1,0,-1]} en die lineair onafhankelijk zijn van elkaar, vormen een basis

Bv:
3[2,1,0] + 4[-1,0,-1] = [2,3,-4]
[2,1,0] + [-1,0,-1] = [1,1,-1]
vormen een basis van jouw ruimte.

Als je problemen hebt om je zulke dingen in te beelden, hou dan de meetkundige voorstelling voor ogen: met drie willekeurige vectoren in de ruimte kan je normaal gezien de hele ruimte "beschrijven". Als nu toevallig een van de drie in het vlak ligt van de twee andere (zoals in jouw geval), dan kan je alleen dat vlak beschrijven. Als ze alle drie veelvouden zouden zijn van elkaar, dan kan je alleen punten bereiken die op de bewuste rechte liggen.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 2 mei 2003