De heren Boole, De Morgan en Venn

Hallo,

Ik zit met een algebra-vraagstuk en ik weet niet hoe ik hem aan moet pakken. Het valt onder verzamelingenleer.

Het vraagstuk gaat als volgt: De heren Boole, De Morgan en Venn werpen 30 keer gelijktijdig met een dobbelsteen. Boole gooit 13 maal even, De Morgan 19 maal oneven en Venn 18 maal even.
Driemaal gooien Boole en Venn oneven, terwijl De Morgan even gooit. Het komt tweemaal voor dat ze gedrieën even gooien en ook tweemaal dat ze juist alledrie oneven gooien. De Morgan en Venn gooien acht keer tegelijk oneven.
A: bij hoeveel worpen gooit precies één van de drie even?
B: bij hoeveel worpen zit minstens één even aantal ogen?

Dank!!!

anke
Student hbo - zondag 11 april 2004

Antwoord

Hoi Anke,

Ik heb twee hulpmiddelen gebruikt bij het analyseren van dit probleem, een verkorte notatie van de situaties en een Venn-diagram. Vooral de laatste was erg hulpzaam:

1) Notatie: Elk van de dertig keren dat Boole, De Morgan en Venn gelijktijdig werpen is te noteren als (B,M,V), met B = + als Boole even gooit en B = - als Boole oneven gooit (en analoog voor M en V). Verder gebruiken we bijvoorbeeld (+??) voor het aantal keren dat Boole even gooit, ongeacht wat De Morgan en Venn tegelijkertijd gooien. De gegevens zijn nu compact te noteren:
(???) = 30, (+??) = 13, (?+?) = 19, (??+) = 18, en verder
(-+-) = 3, (+++) = 2, (---) = 2, (?--) = 8.
Hieruit kun je nu snel ook andere dingen afleiden, zoals (-??) = (???)-(+??) = 30-13 = 17.

2) Dit laat zich nog wat makkelijker weergeven in onderstaand Venn-diagram.

Hierin zijn de linkergebieden de verzamelingen van keren dat Boole even gooide, de rechter dat Boole oneven gooide. Boven en onder onderscheid even/oneven worpen van De Morgan en de buiten- versus binnen-ring onderscheiden de even/oneven worpen van Venn. Ik heb de hierboven ingevoerde notatie ook opgeschreven. Verder kun je nu bij elke verzameling het aantal keren dat op die manier geworpen is vermelden. De gegevens uit de opgave heb ik vetgedrukt weergegeven. Daaruit kun je vervolgens van elke verzameling het toepasselijke aantal bepalen. Zo heb ik al vermeld dat het aantal keren dat Boole oneven gooit gelijk is aan (-??) = (???)-(+??) = 30-13 = 17, en het aantal keren dat Boole even gooit en zowel De Morgan als Venn oneven gelijk is aan (+--) = (?--)-(---) = 8-2 = 6. De andere gevallen zul je nu op dezelfde manier zelf wel kunnen vinden.

Veel succes ermee,

Guido Terra

gt dinsdag 13 april 2004

©2004-2024 WisFaq