Wat is een complex getal?

Hallo,

Ik ben een werkstuk over complexe getallen aan het maken. Maar ik begrijp het onderdeel complexe vlak niet zo goed met name het tekenen van een complexe getal in een vlak en ook de modulus en het argument.

Als u dit even voor mij uitlegt zal ik u hartelijk dankbaar zijn. Ik heb de vragen lijst gekeken, maar mijn antwoord kon ik daar niet duidelijk vinden! Alvast bedankt!!

Faiz K
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 27 augustus 2002

Antwoord

Imaginaire getallen

De basisafspraak bij complexe getallen is dat we √(-1) ook wel i noemen. (wiskundige puristen zullen zeggen dat de definitie luidt dat i²=-1 maar dit is vrijwel hetzelfde)

Die 'i' komt van 'imaginair', dus i is geen getal dat concreet bestaat, het is alleen denkbeeldig.

Dat is leuk, maar hoe zit het dan met √-2, is daar een andere letter voor, bijv. j? Nee, elke wortel uit een negatief getal kun je omschrijven naar iets met i.

Zo is √(-2)=√(-1.2)=√(-1).√2=i√2 en zo is √(-9)=...=3i

Dit zijn allemaal volledig imaginaire getallen, omdat het veelvouden van i zijn.

Complexe getallen

Een complex getal is een getal dat bestaat uit 2 stukken, vandaar dat het 'complex' heet. Het eerste stuk noemen we het reele gedeelte en het tweede stuk het imaginaire gedeelte.

Stel dat ik bij het imaginaire getal 3i het reele getal 5 wil optellen, dan kan ik dat NIET EENVOUDIGER schrijven dan 5 + 3i omdat ik geen 'appels bij peren mag optellen'.

Je was al gewend dat je 'gewone' getallen (reele getallen, dus getallen uit de verzameling $\mathbf{R}$) uit kunt zetten op een getallenlijn. Bij complexe getallen is dat niet mogelijk, omdat er op een getallenlijn geen plek is om imaginaire getallen in kwijt te kunnen. Daarom is er bedacht om een complex getal aan te geven in een x-y assenstelsel. Het reele gedeelte is het aantal stapjes in de x-richting en het imaginaire gedeelte is het aantal stapjes in de y-richting.

Voorbeeld
7 - 3i
Het reele gedeelte is 7
het imaginaire gedeelte is -3
Dus je gaat +7 stapjes in de x-richting, en dan -3 stapjes in de y-richting en zet aldaar een punt. DAT punt stelt het complexe getal 7-3i voor.

Het is echter gebruikelijk om het dan niet over de x-as te hebben maar over de 'reele as', en niet over y-as maar over de 'imaginaire as'. Houd de begrippen 'reeel', 'imaginair' en 'complex' goed uit elkaar! Kun je uit je hoofd de verschillen nog opnoemen?

Modulus

We hebben nu gezien dat je een complex getal als een punt in een vlak kunt aangeven.

De lengte van de pijl vanuit de oorsprong naar dat punt, dat is de absolute waarde van het complexe getal. Dit is de modulus.

Is z het complexe getal, dan wordt de absolute waarde genoteerd met |z|.
Is z=a+ib dan is |z|=√z.z^·
z^· betekent a-ib dus het imaginaire gedeelte omgeklapt van teken.

Voorbeeld
z=3+4i
dan is |z|=√(3+4i).(3-4i) = √(9 - 16.i²) = √(9 - (16.-1)) = √(9+16) = √25 = 5

Argument

Een punt in een x-y assenstelsel kunnen we beschrijven dmv een coordinaat. Dit is wat je altijd al gewend was.
3 in de x richting 7 in de y richting is dus (3,7). Niks nieuws onder de zon. Dit heten carthesische coordinaten.

We kunnen een punt ook beschrijven dmv 'poolcoordinaten'. Hiervoor heb je de lengte nodig tussen de oorsprong en dat punt, alsook de HOEK die deze verbindingslijn met de x-as maakt.

Voorbeeld
Om het punt r=4 $\theta$=30° te tekenen, ga je eerst 4 stapjes over de x as, en dan ga je 30° roteren om de oorsprong. Zo kom je uit op punt (2√3,2), probeer maar eens.

Het verband tussen x,y coordinaten en poolcoordinaten:
x=r.cos$\theta$
y=r.sin$\theta$

Zo werkt het precies ook met complexe getallen. Deze kunnen worden weergegeven als punt in een vlak. De modulus is hetzelfde als de straal r, en het argument is de draaihoek om de oorsprong om op dat punt uit te komen.

Het is zo wel een heel verhaal geworden. Hopelijk is het zo allemaal ietsje duidelijker.
Groeten en suc6,
Martijn

mg

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..! dinsdag 27 augustus 2002

©2004-2024 WisFaq