Breuken en periodiciteit

Ik ben een klasgenootje van degene die onlangs al een mailtje over breuken en periodiciteit naar jullie had gestuurd. Ik snap de theorie van de periode van breuken met priemgetallen als noemers wel, maar ik snap dit niet bij een niet-priemgetal als noemer.

Zo is bijvoorbeeld de breuk:

$\eqalign{\frac{1}{28} = 0,03 571428 571428 571428 571428 571428 57}$.

Zoals te zien is, herhaalt de getallenreeks ‘571428’ zich steeds. Maar de breuk begint wel met de getallen ‘03’, die zich niet herhalen. Is dit te verklaren met een formule, of is er een algemene werkwijze voor om deze getallen te van de ware periodiciteit?

Verder zei onze wiskundeleraar dat de breuk 1/2 ook een periode heeft, omdat de ‘0’ zich steeds herhaalt. Klopt deze uitspraak?

Stefan
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 26 april 2002

Antwoord

Om het aantal cijfers na de komma dat niet repeteert te bepalen kun je het volgende doen. Ik demonstreer de methode aan jullie eigen voorbeeld 1/28.

Eerst schrijf je de ontbinding van 28 in priemfactoren op. Die is in dit geval vrij simpel, namelijk 28 = 2.2.7
Nu laat je alle priemfactoren die niet deelbaar zijn op 10 eruit. Hier is dat alleen de 7.
Je houdt dus over het produkt 2.2 = 4.

Nu moet je nog kijken naar de laagste macht van 10 die door dat getal 4 deelbaar is. Die laagste macht van 10 die door 4 deelbaar is, is natuurlijk de tweede macht van 10. Het aantal niet repeterende cijfers bij de breukontwikkeling van 1/28 bedraagt dan 2.

En die uitspraak van je leraar is natuurlijk waar. Niet alleen omdat ie je wiskundeleraar is (dat verheft hem al direct boven elke twijfel!), maar als je een afbrekende breuk aanvult met alleen maar nullen, dan kun je natuurlijk glashard beweren dat het cijfer 0 repeteert.

Het voordeel van zo'n uitspraak is vooral technisch. Dankzij die repeterende nullen kun je voortaan domweg beweren dat álle breuken repeteren, en daarmee ben je af van de soms lastige splitsing in 2 soorten breuken: enerszijds wél-repeterend en anderszijds niet-repeterend.

Zie Breuken en periodiciteit

MBL

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..! zaterdag 27 april 2002

©2004-2024 WisFaq