Wortel 3 is irrationaal

Hoe kan je bewijzen dat de wortel uit 3 een irrationeel getal is?

Geertj
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 29 maart 2002

Antwoord

Stel $\sqrt{3}$=^p/_q (p,q Î N) waarbij de breuk niet verder vereenvoudigd kan worden.

$\sqrt{3}$=^p/_q
3=^p2/_q²
3q²=p² (1)

Hieruit volgt dat p² een drievoud is... maar een kwadraat is alleen drievoud als p ook een drievoud is. Dus p is te schrijven als 3·a (met a=p/3). Dan is p²=9a² en dan volgt uit (1):

3q²=9a²
q²=3a²

Dus q² is ook een drievoud... en q dus ook. Maar dan hadden we de breuk ^p/_q kunnen vereenvoudigen, maar dat is in strijd met de aanname! Dus $\sqrt{3}$ kan je niet schrijven als een breuk, dus $\sqrt{3}$ is irrationaal! (En niet irrationeel, want dat is iets anders, ook lastig...)

vrijdag 29 maart 2002

©2001-2024 WisFaq