Breuken en periodiciteit

Wat wordt bedoeld met de decimaalontwikkeling van een breuk? En hoezo is deze periodiek? Wat is een rationaal getal?

Lin Sm
Leerling bovenbouw havo-vwo - maandag 14 april 2003

Antwoord

Een rationaal getal is een breuk waarin teller en noemer gehele getallen zijn (of zich verhouden als gehele getallen), bvb. 0, 4, 1/2, -2/3, maar niet Ö2/3.

De decimaalontwikkeling van zo een rationaal getal is de rij van opeenvolgende decimalen.

1/2 = 0,5000... (repeterend deel: 0)
1/3 = 0,333333... (repeterend deel: 3)
4/7 = 0,571428571428... (repeterend deel: 571428)
1/24 = 0,04166666666... (repeterend deel: 6)
7/34 = 0,205882352941176470588235294117... (repeterend deel: 0588235294117647)

Er treedt altijd een zichzelf herhalend stuk op. Hoe dat komt, merk je zelf als je de deling maakt. Voor elke rest r die je tijdens het maken van de deling uitkomt, geldt namelijk 0 rb-1. Je kan dus tijdens het delen hoogstens b-1 verschillende getallen als rest bekomen. Eens je een rest bekomt die al eens is voorgekomen herhaalt, gebeurt alles opnieuw.

Het terug omzetten van zo een decimale herhalende voorstelling naar een breuk is eenvoudig. Voorbeeld:

x = 0,7316161616... (repeterend deel 16)

Bepaal eerst het stuk dat zich niet herhaalt:
A = 0,73 = 73/100

Dan het stuk dat zich wel herhaalt:
B = 0,00161616...
10000 B = 16,1616...
10000 B = 16 + 100 B
9900 B = 16
B = 16/9900 = 4/2475

Het eindresultaat is dan A+B = 73/100 + 4/2475 = 7243/9900
(en inderdaad, dat is gelijk aan 0,73161616...)

Zie periodicitieit

maandag 14 april 2003

©2001-2024 WisFaq