Re: Sin(oneindig)

Dit is een reactie op vraag 70747

Beste,
Ik denk dat er het volgende bedoeld werd:

We krijgen een integraal van - \infty tot + \infty van een functie met sinussen en cosinussen. Als we die willen oplossen, hoe doen we dat dan het best.
Neem bijvoorbeeld als voorbeeld: \smallint cos² (3x) dx.
Je kan die volledig uitwerken met de formules van simpson, maar dan moet je die grenzen invullen, wat naar mijn inziens niet gaat bij een sinus of cosinus.

trijn
Student universiteit Belgiė - vrijdag 21 juni 2024

Antwoord

Dat kan niet bedoeld worden want zo is de definitie van \int_{-\infty}^\infty niet geformuleerd. Laten we jouw voorbeeld nemen

\int_{-\infty}^\infty \cos^23x\,\mathrm{d}x

is als volgt gedefinieerd:

\lim_{M\to-\infty}\int_M^0 \cos^23x\,\mathrm{d}x + \lim_{N\to\infty}\int_0^N \cos^23x\,\mathrm{d}x

mits beide limieten bestaan (je vult de grenzen niet in).
Kijk naar de tweede

\int_0^N \cos^23x\,\mathrm{d}x = \int_0^N \frac12+\frac12\cos 6x\,\mathrm{d}x =\left[\frac12x+\frac1{12}\sin6x\right]_0^N=\frac12N+\frac1{12}\sin6N

Blader nu terug in je boek om de definitie van

\lim_{N\to\infty}\frac12N+\frac1{12}\sin6N = L

op te zoeken en je zult zien dat er geen L is waarvoor dit geldt: de grafiek van \frac12x+\frac1{12}\sin6x heeft geen horizontale asymptoot.

NB Wat we nooit doen is -\infty of \infty invullen.

kphart
dinsdag 25 juni 2024

©2001-2025 WisFaq