Knikpunt

Geachte,
Mijn veronderstelling was steeds: als er absoluutstrepen in een functievoorschrift staan, dan heeft de grafiek een knik...
Maar dat is (waarschijnlijk) niet waar als ik de volgende opgave moet beantwoorden: f(x)= (x²-4).|x-p| ; bereken exact voor welke waarden van p de grafiek van f GEEN knik heeft en schets de bijbehorende grafieken.
Ik vind nergens in mijn boeken een aanknopingspunt. Kunt U mij helpen?
Bij voorbaat dank.

Kirsten

Kirste
Leerling bovenbouw havo-vwo - zaterdag 7 oktober 2023

Antwoord

Hallo Kirsten,

De grafiek van f(x) bestaat uit twee delen die op elkaar aansluiten:

voor x $<$ p geldt: f(x)=(x²-4)(p-x)
voor x$ \ge $ p geldt: f(x)=(x²-4)(x-p)

Op de overgang tussen deze delen (dus: bij x=p) vertoont de grafiek GEEN knik wanneer de helling (dus: de afgeleide functie) van de twee deelgrafieken bij x=p gelijk is.
We bepalen dus eerst de afgeleide:

voor x $<$ p geldt: f'(x)=-3x²+2px+4
voor x$ \ge $ p geldt: f'(x)=3x²-2px-4 (ga voor jezelf na of dit klopt)

Vul nu in: x=p, en bereken de waarden voor p waarvoor beide afgeleide functies aan elkaar gelijk zijn. Ik vind twee waarden voor p. Jij ook?

Lukt het hiermee?

zondag 8 oktober 2023

©2001-2024 WisFaq