Nut van approximatie van binomiale door normale verdeling

Hallo

De binomiale verdeling kan benaderd worden door de normale verdeling (mits voorwaarden (np $>$ 5 en nq $>$ 5)) om de omslachtige berekeningen van de binomiale verdeling te vermijden. Dit was 30-40 jaar geleden waar, maar waarom zou het nu, met computers, nog nuttig zijn?
Alle hypothesetests over proporties die ik tegenkom, zijn gebaseerd op deze benadering (dankzij het theorema van de centrale limiet), behalve als de voorwaarden niet voldaan zijn, dan wordt de exacte binomiale test gebruikt.
Een voorbeeld: iemand beweert een gave te hebben. Hem wordt gevraagd om de kleur te raden van 50 kaarten, die ofwel zwart of wit zijn. Deze persoon raadt er 32 correct. Heeft hij deze gave, of is het slechts een gok op een significant niveau van 95%?

De voorgestelde oplossing wordt gegeven door de binomiale verdeling te benaderen door de normale (met continuïteitscorrectie).
H0: p = 0,5
Ha: p $>$ 0,5

H0 is verworpen omdat de z-waarde (1,84) $>$ kritische waarde (1,645).

De exacte binomiale toets geeft het volgende resultaat:
de kans van het aantal successen $ \ge $ 32 is 0,032 (met Excel met =1-BINOM.VERD(31;50;0.5;1) = $>$ 0.032 $<$ 0.05 = $>$ H0 verwerpen.

Dus, tenzij er een goede reden is (anders dan de eenvoud van de berekeningen) om de approximatie toe te passen, waarom niet altijd de exacte binomiale test bij proporties gebruiken? 'Exact' is toch nog altijd beter dan 'bij benadering'? En de berekeningen lijken me niet langer of moeilijker.

Dank je wel.
Raf

raf
Student Hoger Onderwijs België - zondag 27 augustus 2023

Antwoord

Optellen kost meer tijd dan integreren en optellen is ook gevoeliger voor fouten. Als je niet met $n=50$ maar met $n=10000$ (of nog groter) werkt heb je bij gebruik van de binomiale formule een heleboel kansjes die heel erg klein zijn, vooral als je relatief ver weg van $np$ zit. De eindige precisie van programma's als Excel maken al die kleine kansjes gelijk aan $0$ en dan wordt bijvoorbeeld de totale kans kleiner dan $1$.

Als je je binomiale verdeling herschaalt en opschuift naar de standaard-normale verdeling (eventueel met continuïteitscorrectie) maak je veel minder afrondfouten. Daarna integreer je de dichtheid van de normale verdeling over een klein interval en dat kost ook veel minder afrondfouten.

kphart
maandag 28 augustus 2023

Re: Nut van approximatie van binomiale door normale verdeling

©2001-2024 WisFaq