Re: Re: Basisbegrippen

Dit is een reactie op vraag 97633

Beste,

Graag nog eens beroep op u doen voor volgende.
Ben een (oudere gepensioneerde) autodidact en maak wel eens fouten bij basisbegrippen.

Formules opstellen voor een cirkel met uitbreiding naar een bol met straal R.

1) Bepalen van een punt
R² = r² + z²
verder uitgewerkt naar z = (R² - r²)¹/2

2) Bepalen van meerdere punten
r . (R² - r²)¹/2

3)Uitbreiden naar sommatie door middel van een integraal.
Daarvoor deze formule gebruiken voor omzetting naar afgeleide
afgeleide van r.(R² - r²)¹/2
afgeleide van dit product r · (R² - r²)¹/2
f(x).g(x) = f’.g + g’.f
f(x) = r
f’ = 1
g(x) = (R² - r²)¹/2 is een ketting
g’ bepalen ketting
buiten = (R² - r²)¹/2
buiten’ =1/2 . (R² - r²)^-1/2
binnen = (R² - r²)
binnen’ = -2.r
g’ = buiten’ · binnen’
1/2 . (R² - r²)^-1/2 · -2r = -r . (R² - r²)^-1/2
f’ . g = 1 · (R² - r²)¹/2 = (R² - r²)¹/2
f . g’ = r · -r . (R² - r²)^-1/2 = -r² . (R² - r²)^-1/2
totale afgeleide is f(x).g(x) = f’.g + g’.f =
(R² - r²)¹/2 + -r² . (R² - r²)^-1/2
(R² - r²)¹/2 - r² . (R² - r²)^-1/2
verder te vereenvoudigen tot: ???
⌡0 tot R (R² - r²)¹/2 - r² . (R² - r²)^-1/2 .dr
lijkt me foutief te zijn

4) Uitwerken integraal
⌡0 tot R r. (R² - r²)¹/2 dr
primitieven gebruiken
bij product r. (R² - r²)¹/2
primitieve van r =r² . ¹/₂ = r²/2
primitieve van (R² - r²)¹/2 = ²/₃ . (R² - r²)³/2
wordt dus r²/2 · ²/₃ . (R² - r²)³/2 = 2/2.3 ·r² · (R² - r²)³/2
= 2/6 . r² .(R² r²)³/2 = ¹/₃ · r² · (R² - r²)³/2
ziet er juist uit dus verder |1/3 · r² · (R² - r²)³/2| 0 tot R
met r = R wordt dit ¹/₃ · R² · (R² - R²)³/2 = ¹/₃ · R² · 0 = 0
met r = 0 wordt dit ¹/₃ · 0² · (R² - 0²)³/2 = ¹/₃ · 0 · R¹/2 = 0
of is het fout om de eerste r (niet in de ketting) te vervangen?
of nog iets anders?

Graag hulp in dank aanvaard.

Marc B
Iets anders - zaterdag 18 maart 2023

Antwoord

1: prima, dat is de vegelijking van de bovenste helft van de bol in cilindercoördinaten

2: dat begrijp ik niet, wat betekent `meerdere punten'? Ik weet wel waar de $r$ echt vandaan komt: van de overgang naar cilindercoördinaten.

3: dit stuk is niet goed; voor het berekenen van een integraal heb je niets aan de afgeleide van de te integreren functie

4: dit is ook niet goed: de primitieve van een product krijg je niet door de beide factoren afzondelijk te primitiveren. Want dan jou je $x^2=x\cdot x$ primitiveren door de beide $x$-en te primitiveren en $\frac12x^2\cdot\frac12x^2$ krijgen, en dat is fout.
Plus: de primitieve van $(R^2-r^2)^{\frac12}$ was de vorige keer al fout; de goede staat in mijn antwoord.

Wat je kunt doen is de substitutieregel gebruiken, dat is de kettingregel achterstevoren. Je moet daarbij de uitdrukking goed bekijken; hier heb je een $r$ en in de wortel een $r^2$, die $r$ is bijna de afgeleide van $r^2$, het is de helft van die afgeleide en dus
$$
\int r\,\mathrm{d}r=\frac12r^2
$$
ik laat de ${}+C$ even weg.
De kunt dit ook schrijven als
$$
r\,\mathrm{d}r = \frac12\mathrm{d}r^2
$$
Dus van de gegeven integraal kunnen we dit maken:
$$
\int(R^2-r^2)^{\frac12}\cdot r\,\mathrm{d}r = \int(R^2-r^2)^{\frac12}\cdot\frac12\mathrm{d}r^2
$$
Dan vervangen we $r^2$ door $u$ (de substitutie) en dat geeft
$$
\frac12\int(R^2-u)^{\frac12}\,\mathrm{d}u = \frac12\cdot\frac23(R^2-u)^{\frac32}\cdot-1
$$
De $-1$ komt eigenlijk van nog een substitutie: $v=-u$, maar die heb ik niet helemaal uitgeschreven.
Nu kun je $u$ weer vervangen door $r^2$ en daar is de primitieve: $-\frac13(R^2-r^2)^{\frac32}$.

kphart
zaterdag 18 maart 2023

©2001-2024 WisFaq