Hoeken bepalen in een driehoek en vierhoek

Gegeven: ΔABC met aangepaste indeling; $\angle$DAE = $\angle$CAD = 10° en $\angle$BCE = 40°

Gevraagd: de hoek χ₁ = $\angle$DBE en χ₂ = $\angle$BDF.

Oplossing: Uit de gegeven hoeken kan men direct een aantal andere hoeken bepalen; ze staan genoteerd in blauwe kleur. In rechthoekige driehoek ΔBCE geldt dat $\angle$CBE = 90° - 40° = 50°. In rechthoekige ΔACE geldt: $\angle$ACE = 90° - 2·10° = 70° en in rechthoekige ΔADE geldt: $\angle$ADE = 90° - 10° = 80°. Hieruit volgt dan verder dat $\angle$CDF = 80° en in ΔCDF is $\angle$CFD = 180° - 40° - 80° = 60°.

Op zijn beurt volgt hieruit dat in ΔBDF: $\angle$BFD = 120° (suppplementaire nevenhoek van $\angle$CFD = 60°. In de vierhoek BEDF is de som van dehoeken 360° en drie van de vier hoeken zijn gekend, dus: $\angle$EDF = 360° -120° - 50° - 90° = 100°.

Dit betekent ook dat: 90° - χ₁ + χ₂ = 100° of -χ₁ + χ₂ = 10° (1) De expressie geeft dus het verschil tussen de 2 te bepalen hoeken χ₂ en χ₁.

In ΔACD is de som van de hoeken ook 180°, dus: $\angle$ADC + 70° + 10° = 180° of $\angle$ADC = 90° - χ₁ + χ₂ =100° hetgeen identiek is et (1).

PROBLEEM: Ik slaag er niet in een 2e expressie te vinden, onafhankelijk van (1), met daarin de som van de twee te bepalen hoeken χ₁ en χ₂.

VRAAG: Hoe slaag ik er in om een tweede lineair onafhankelijke vergelijking in χ₁ en χ₂? Graag een hint a.u.b. Bedankt bij voorbaat.

OPMERKING: Via logisch na te denken en rekening te houden met het feit dat χ₁ $<$ 50° kwam ik er wel achter dat χ₁ = 30° en χ₂ = 40°, maar ik realiseer me wel dat het niet de bedoeling is om zo te werk te gaan!

Yves D
Iets anders - donderdag 19 januari 2023

Antwoord

Je plaatje is een deel van een sector van een regelmatige $18$-hoek.

Wegens de symmetrie snijden de lijnen $BK$ en $HI$ elkaar in het punt $C$ op de lijn die een hoek van $20^\circ$ met de $x$-as maakt. De lijn $BL$ snijdt $AF$ precies op de lijn $HI$, in het punt $D$ dus. Dat kun je uitrekenen door vergelijkingen van de lijnen op te stellen en het stelsel op te lossen: $AF$ wordt gegeven door $y=x\tan10^\circ$, en $BL$ door $x\cos60^\circ+y\sin60^\circ=\cos60^\circ$. Na invullen komt er
$$
x=\frac{\cos 60^\circ}{\cos60^\circ+\tan10^\circ\,\sin60^\circ}
=\frac{\cos 60^\circ\,\cos10^\circ}{\cos60^\circ\,\cos10^\circ+\sin10^\circ\,\sin60^\circ}
=\frac12\frac{\cos10^\circ}{\cos50^\circ}
$$
van dat laatste maken we
$$
\frac12\frac{\sin80^\circ}{\sin40^\circ}
=\cos40^\circ
$$
dus het snijpunt ligt op $HI$, want die wordt gegeven door $x=\cos40^\circ$.

Nu kun je de waarden van je hoeken zo aflezen. Het idee is dus de lijn $BD$ als deel van een andere lijn, $BL$, te zien, waarbij de aard van de lijn $BL$ meteen de hoek hoek $\chi_1$ bepaalt.

kphart
zaterdag 28 januari 2023

©2001-2024 WisFaq