Volume in een glas met omgekeerde kegelvorm

Help,

Als (oudere) autodidact maak is wel eens fundamentele fouten.

Berekenen van volume in een glas met omgekeerde kegelvorm.
- r = 5 cm
- h = 10 cm
- C = h/r = 2

1. Volume kegel (vol glas)
Vk = ¹/₃ · PI · r² · h = 261,8 cm³

2. Volume met afgeleide dh
vervangen van r = h/2 - V = PI · (h/C)² · h = PI · h²/C² · h = PI/C² · h³
afgeleide = 3PI/C² · h²
Vah = ⌡3PI/C² . h² = 235,6 cm³
ratio Vah/Vk = 0,90

3. Volume met afgeleide dr
vervangen van h =2.r - V = PI · r² · 2r = PI · 2. r³ = 2PI · r³
afgeleide = 3.2.PI · h²
Var = ⌡6PI . r² = 471,2 cm³
ratio Var/Vk = 1,80

Wat doe ik fout?

Dank bij voorbaat.
Marc

Marc B
Iets anders - zondag 9 oktober 2022

Antwoord

Je ben in 2 en 3 vergeten de factor $1/3$ mee te nemen.
In 2 krijg je
$$\frac1{12}\pi h^3
$$en in 3 wordt het
$$\frac23\pi r^3
$$Verder: in die formules moet je de waarden van respectievelijk $h$ en $r$ invullen, en als je dat doet komt het eerste antwoord weer tevoorschijn.
Wat je gedaan hebt is invullen in de afgeleiden van de formules, dat slaat nergens op.
Als je, bijvoorbeeld, in 2 de juiste formules neemt is de afgeleide gelijk aan $\frac14\pi h^2$ en het volume is dan
$$V=\int_0^{10} \frac14\pi h^2\,\mathrm{d}h = \left[\frac1{12}\pi h^3\right]_0^{10} = \frac1{12}\pi 10^3
$$En dat betekent dus weer invullen in de oorspronkelijke formule zelf.

Wat ik begrijp is waarom je differentieert en denkt dat de afgeleide van de formule hetzelfde op zal leveren als de formule zelf.

kphart
zondag 9 oktober 2022

Re: Volume in een glas met omgekeerde kegelvorm

©2001-2024 WisFaq