Extremumproblemen

Hoe moet je deze oefening oplossen?

Iemand bezit over één grote rechthoekige weide en wil voor elk van zijn drie paarden een even groot rechthoekig stuk weide afspannen. Hij beschikt over 600 m prikkeldraad en wil twee prikkeldraden boven elkaar spannen. Welke afmetingen moet hij nemen als hij de paarden een zo groot mogelijke ruimte wil geven?

Anonie
3de graad ASO - donderdag 22 september 2022

Antwoord

Dat kun je mooi doen met behulp van de ongelijkheid van rekenkundig en meetkundig gemiddelde: als $a,b\ge0$ dan geldt
$$\frac{a+b}2 \ge \sqrt{a\cdot b}
$$en de twee uitdrukkingen zijn gelijk alleen als $a=b$.

Maak een tekening van de rechthoeken

Om één keer prikkeldraad te spannen moet je $x$ en $y$ zó kiezen dat $6x+4y=300$.
Met de ongelijkheid volgt dan dat altijd:
$$\sqrt{6x\cdot4y}\le\frac{6x+4y}2 = 150
$$of $6x\cdot 4y\le150^2$, met gelijkheid alleen als $6x=4y$, maar dan moet $6x=150$ en $4y=150$ gelden, dus $x=25$ en $y=37{,}5$.

Alternatief: druk $y$ in $x$ uit: $y=(150-6x)/4$ en bepaal het maximum van de functie $xy=x\cdot(150-6x)/4$.

kphart
vrijdag 23 september 2022

©2001-2024 WisFaq