Zij E \subseteq R^d meetbaar. We noteren de d-dimensionale Lebesgue-maat met \mu . Zij f een Lebesgue-integreerbare afbeelding E- > ]0,oneindig[. Toon aan dat lim n- > inf ∫f^(1/n)= \mu (E) de integraal is over E genomen. Wilt u mij aub op de goede weg zetten. Alvast bedankt!
Met vriendelijke groeten Rafik
Rafik
Student universiteit België - dinsdag 16 augustus 2022
Antwoord
Verdeel E in twee stukken: D=\{x\in E:f(x)\ge1\} en F=\{x\in E: f(x) < 1\}. Op D geldt dat de rij f^{\frac1n} monotoon daalt naar de constante functie 1; daar kun je de gedomineerde-convergentiestelling toepassen. Op F is de rij juist stijgend, ook met limiet de constante functie 1; daar kun je de monotone-convergentiestelling toepassen.
