Re: Inhoud cilinder met afgeplat onderzijde

Dit is een reactie op vraag 96980

Ik heb nu de oplossing voor deze cilinder dank hiervoor.
Is deze ook generiek te maken waarbij de diameter en helling/afplatting ook variabelen zijn?

Dan kan ik deze verkregen formule ook in andere situaties toepassen.

Groet,
Jan

Jan
Iets anders - vrijdag 13 mei 2022

Antwoord

We noemen de straal van de cilinder $R$ en we noteren de helling van het
grondvlak als~$\frac1a$ (dat maakt de formules straks iets makkelijker). In de vorige vraag hadden we dus $R=150$ en $a=20$.

Dan heeft het grondvlak de vergelijking $z=\frac1a(x+R)$. De maximale hoogte van het grondvlak is dan $\frac2aR$, bij $x=R$.

De plak op hoogte $z\le\frac2aR$ wordt dan bepaald door $x^2+y^2\le R^2$ èn $x\le az-R$.
De oppervlakte van zo'n plak is dan gelijk aan
$$\mathrm{Opp}(z)=\int_{-R}^{az-R}2\sqrt{R^2-x^2}\,\mathrm{d}x
$$met behulp van een tabel of door partiële integratie vinden we dat de integraal gelijk is aan
$$\begin{aligned}
\left[x\sqrt{R^2-x^2}+R^2\arcsin\frac x{R}\right]_{-R}^{az-R} & =
(az-R)\sqrt{R^2-(az-R)^2}\\
&\qquad{}+R^2\arcsin\frac{az-R}{R}+R^2\cdot\frac\pi2
\end{aligned}
$$Het volume $V(h)$ is voor $h\le\frac2aR$ dan gelijk aan
$$\int_0^h\mathrm{Opp}(z)\,\mathrm{d}z
$$met wat werk, of met behulp van tabellen, wordt dit
$$\begin{aligned}
V(h)&=\frac{R^2\pi}{2}h-\frac1{3a}\bigl(R^2-(ah-R)^2\bigr)^{\frac32}\\
&\qquad{}+
\frac{R}a\times R^2\left(\frac{ah-R}{R}\arcsin\frac{ah-R}{R}+
\sqrt{1-\left(\frac{ah-R}{R}\right)^2}+\frac\pi2\right)
\end{aligned}
$$Dit kan wat opgeknapt worden tot
$$\begin{aligned}
V(h)&=\frac{R^2\pi}{2}h-\frac1{3a}\bigl(2ah(R-ah)\bigr)^{\frac32}\\
&\qquad{}+
\frac{R^2}a\left((ah-R)\arcsin\frac{ah-R}{R}+
\sqrt{2ah(R-ah)}+\frac\pi2R\right)
\end{aligned}
$$Als $h=\frac2aR$, ofwel $ah=2R$, dan krijgen we $\frac{ah-R}{R}=1$ en dan is $V(h)$ precies gelijk aan de helft van het volume van de cilinder met straal~$R$ en hoogte $\frac2aR$, dus $V(\frac2aR)=\pi\cdot R^2 \cdot \frac Ra$. Voor $h\ge\frac2aR$ hebben we
$$V(h)=\frac\pi aR^3+\pi\cdot R^2\cdot\left(h-\frac2aR\right)=
\pi R^2\left(h-\frac Ra\right)
$$

kphart
vrijdag 13 mei 2022

©2001-2024 WisFaq