Formule van Moivre

Hoe kan je cos(4x) uitdrukken in cos(x) met de formule van Moivre?

wiskun
3de graad ASO - zaterdag 7 mei 2022

Antwoord

Hallo,

Dank voor je vraag.

De formule van De Moivre stelt

$(\cos(x)+i\cdot \sin(x))^n=\cos(nx)+i\cdot \sin(nx) $,

ofwel, voor $n=4$

$(\cos(x)+i\cdot\sin(x))^4=\cos(4x)+i\cdot\sin(4x) $.

Haakjes wegwerken links geeft

$\cos^4(x) + 4i\cdot\cos^3(x)\sin(x) + 6i^2\cdot\cos^2(x)\sin^2(x) + 4i^3\cdot\cos(x)\sin^3(x) + i^4\cdot\sin^4(x) = \cos(4x)+ i\cdot\sin(4x)$

en dus

$\cos^4(x) - 6\cos^2(x)\sin^2(x) + \sin^4(x) + i(4\cos^3(x)\sin(x) - 4\cos(x)\sin^3(x)) = \cos(4x)+ i\cdot\sin(4x).$

Nemen we aan beide kanten het reële deel, dan houden we

$\cos^4(x) - 6\cos^2(x)\sin^2(x) + \sin^4(x) = \cos(4x)$

over en met substitueren van $\sin^2(x)=1-\cos^2(x)$ kunnen we de gevraagde uitdrukking completeren.

Met vriendelijke groet,

zaterdag 7 mei 2022

©2001-2024 WisFaq