Maxima en minima

Kunnen jullie misschien uitleggen wat maxima en minima zijn? En deze misschien uitleggen?

Bereken de maxima en minima van de volgende functies:
f(x)=x²-x³
g(x)=3x²+6

Dit was de laatste vraag! hardstikke bedankt!

suzann
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 3 april 2003

Antwoord

Maxima en minima zijn de plaatselijke grootste en kleinste waarden die een functie kan aannemen. Met 'plaatselijk' bedoel ik: als een functie als maximum bijv. de waarde 5 heeft, dan wil dat niet zeggen dat verderop niet hogere waarden voorkomen. Dat lijkt misschien gek, maar is het eigenlijk niet. Als je een heuvel beklommen hebt en je bent eindelijk boven, dan zeg je toch ook dat je op de top staat? Je gaat dan niet zeuren over het feit dat de Himalaya hoger is, niet waar?
In de grafiek zie je maxima en minima terug als toppen in de grafiek.
In zo'n top ligt de raaklijn horizontaal en omdat de helling van raaklijnen gegeven wordt door de afgeleide, is het logisch om de afgeleide te gaan bestuderen.
Welnu, f '(x) = 2x - 3x² en deze functie wordt gelijk aan 0 voor x = 0 en voor x = 2/3
Door deze x-waarden in f in te vullen weet je de exacte ligging van de punten.
Maar, er zit nog wel een extraatje aan vast! De afgeleide kan namelijk best 0 worden, zónder dat er sprake is van een top in de grafiek. Het kan namelijk ook over een buigpunt gaan waar de raaklijn toevallig horizontaal ligt. Dit doet zich bijv. voor bij y = x³ in het punt (0,0).
Je moet daarom altijd nog even nagaan of je afgeleide bij de nulpunten wél of niet van teken wisselt.
In dit geval is er inderdaad sprake van tekenwisseling, en dan heb je een echt minimum of maximum.
Als je het tekenschema maakt en de tekens wisselen van 'plus' naar 'min', dan heb je een maximum, en bij wisseling van 'min' naar 'plus' een minimum.
In een tijd waar de GR gebruikt mag worden kun je natuurlijk ook een tekeningetje ontwerpen van de grafiek en dan zie je vanzelf of er een maximum of een minimum is.
De berekening heeft als voordeel dat je zeker weet dat er niet toevallig een maximum of minimum aan je aandacht ontsnapt doordat het toevallig niet in je scherm te zien is.
Tot slot: met de optie maximum en minimum kan de GR het werk van je overnemen, maar dan moet je wel met een benadering tevreden zijn.

MBL
donderdag 3 april 2003

©2001-2024 WisFaq