De coordinaten van de buigpunten bepalen

Van de functie f(x)=1/12x⁴-¹/₂x³+x²-x wordt het tekenschema gevraagd van f``. Daarna moet ik de coordinaten van de buigpunten bepalen.

Het probleem is dat ik de nulpunten van f` niet kan vinden dus dan kan ik het schema van f`` ook niet tekenen. Of kan dat toch wel zonder de nulpunten van f`? De nulpunten van f`` heb ik wel. Kunnen jullie dat uitleggen.
De coordinaten van de buigpunten kan ik wel berekenen.
Ik zal laten zien hoe ver ik gekomen ben.

f(x) =1/12x⁴-¹/₂x³+x²-x

Afgeleide functies zijn:
f`(x) =¹/₃x³-1¹/₂x²+2x-1
f``(x)=x²-3x+2

Nulpunten zijn:
f`(x)=0 dus ¹/₃x³-1¹/₂x²+2x-1=0 (verder kom ik niet, komt
door de breuken)

f``(x)=0 dus x²-3x+2=0 ; (x-1)(x-2)=0 ; x=1 of x=2

Coordinaten buigpunten zijn:
f(1)=-5/12 dus punt (1,-5/12)
f(2)=-2/3 dus punt (2,-2/3)

Als ik de nulpunten van de eerste afgeleide functe niet nodig heb om het schema te tekenen van de tweede afgeleide functie kunnen jullie mij dat dan uitleggen hoe ik dat moet doen. Eventueel tekenen.
Alvast bedankt voor de uitleg.

A. Ber
Iets anders - donderdag 3 april 2003

Antwoord

Je bent toch al een heel stuk op dreef! De vergissing die je maakt is dat je de nulpunten van de eerste afgeleide denkt nodig te hebben, maar die spelen hier geen rol. Die zou je wél nodig hebben als er naar de extreme waarden gevraagd zou zijn, ofwel naar het maximum en minimum.

Overigens is het argument dat de nulpunten van de afgeleide niet te vinden zijn vanwege de breuken onjuist. Door een geschikte vermenigvuldiging toe te passen ben je in één klap van alle breuken af.

Maar goed, nu naar de buigpunten. Daarvoor is het nodig dat de tweede afgeleide nul wordt en bovendien bij die nulpunten van teken wisselt.

De 2de afgeleide die je gevonden hebt heeft als nulpunten inderdaad de waarden 1 en 2. En links van 1 en rechts van 2 is de uitkomst positief en tussen 1 en 2 is de uitkomst steeds negatief. Kortom, tekenwisseling en dús buigpunten bij x = 1 en bij x = 2.

Door nu in de gewone functie, dus bij f, x = 1 en vervolgens x = 2 in te vullen, weet je de exacte ligging van de buigpunten.

Hint: laat je GR de grafiek eens tekenen en kijk eens of je de buigpunten kunt zien.

MBL
donderdag 3 april 2003

©2001-2024 WisFaq