Er zijn twee dingen door elkaar gaan lopen.
1. Convergentiecriteria voor reeksen, zoals:
a. Als twee rijen met positieve termen, a_n en b_n, asymptotisch equivalent zijn dan geldt: de reeks \sum_na_n convergeert dan en slechts dan als \sum_nb_n convergeert en hiervan afgeleid:
b. als a_n asymptotisch equivalent is met C/n^p dan is \sum_na_n convergent dan en slechts dan als p > 1.
2. Voor een reeks met `ingewikkelde' termen een asymptotisch equivalente reeks zoeken met `makkelijkere' termen. In je vraag gebruikte je in je zoektocht naar die `makkelijkere' reeks eigenschappen van asymptotische equivalentie die niet algemeen geldig zijn.
Daarom schreef ik dat als je (op je kladpapier) ets van de vorm C/n^p gevonden hebt je moet laten zien dat het echt werkt; en met dat laatste bedoelde ik niet dat \sum_n n^{-p} convergeert voor p > 1, maar dat inderdaad
\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{Cn^{-p}}=1
en in dit geval dus expliciet nagaan dat die 1/n correct is en dat
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln\cosh n}{n^{-1}}=1
je stappen onderweg garanderen niet dat dat automatisch het geval is.
kphart
zaterdag 16 april 2022
Dit is een reactie op vraag 93549 