Differentiaalvergelijking 2e orde
De vergelijking is:
r is een functie van t.
G, M , L, en m zijn constanten.
d2r/dt2 = r' = G·M/r2 + L2/(m·r3)
Hoe dit aan te pakken?
Herman
Ouder - donderdag 7 april 2022
Antwoord
Je kunt dit niet aanpakken zonder wat kennis van differentiëren en integreren.
Stap 1: vermenigvuldig de vergelijking met $r'$:
$$r'\cdot r''=\frac{GM}{r^2}\cdot r' +\frac{L^2}{mr^3}\cdot r'
$$Links en rechts primitiveren geeft
$$\frac12(r')^2=-\frac{GM}r - \frac{L^2}{2mr^2} + C
$$of
$$(r')^2 = \frac{2C}{r^2}\left(r^2-2GMr-\frac{L^2}m\right)
$$Dit geeft twee eerste-orde differentiaalvergelijkingen:
$$r'=\pm\frac{\sqrt{2C}}r\sqrt{r^2-2GMr-\frac{L^2}m}
$$of
$$\frac r{\sqrt{r^2-2GMr-\frac{L^2}m}}\cdot r'= K
$$waarbij $K=\pm\sqrt{2C}$ een constante is.
Deze differentiaalvergelijking is met standaardprimitieven impliciet op te lossen.
kphart
vrijdag 8 april 2022
©2001-2024 WisFaq
|