Existentiebewijs

Beste heer/mevrouw,

Ik heb veel moeite met het bewijs dat gegeven is op de volgende stelling (gevolgd door de definities).

Definities:
Zij I een eindige deelverzameling van de natuurlijke getallen. Bekijk de machtsverzameling van I, aangeduid als P(I). Een aantal elementen van P(I) worden aangeduid met het attribuut 'gewenst'. Een element J \in P(I) is maximaal gewenst dan en slechts dan als de volgende twee properties gelden. 1) J is gewenst, en 2) voor alle strikte supersets K van J (waarbij K \in P(I)) geldt dat K niet gewenst is. Tot zover de definities.

Stelling:
Zij C nu een verzameling van alle maximaal gewenste elementen van P(I). Laat J een element zijn van P(I) waarvoor geldt dat \forall Y van C: J \not\subset Y. Dan geldt dat J niet gewenst is.

Bewijs:
Er is een maximaal gewenste verzameling K \in C zodanig dat K \subset J. Dus J is niet gewenst. Einde bewijs.

Hoe weten we dat de verzameling K per se een strikte deelverzameling is van J in het bewijs (zodanig dat deze K ook maximaal gewenst is)?

Nico
Student universiteit - vrijdag 18 februari 2022

Antwoord

Het bewijs klopt niet. Er hoeft helemaal geen K\in C te zijn met K\subset J.
Bijvoorbeeld als I=\{1,2,3,4\} met \{1,2\} en \{3,4\} als enige gewenste verzamelingen. Dan is C dus gelijk aan \bigl\{\{1,2\},\{3,4\}\bigr\}.
Dan voldoet J=\{1,3\} aan de voorwaarden van de stelling maar er is geen K als in het bewijs.

Het juiste bewijs gaat uit het ongerijmde. Stel J is wel gewenst. Dan is er, omdat I eindig is, een Y\in C met J\subseteq Y. In tegenspraak met het gegeven.
De stelling had beter kunnen luiden: "Elke gewenste verzameling is bevat in een maximale gewenste verzameling."

kphart
zaterdag 19 februari 2022

©2001-2025 WisFaq