Getallenparen

In het boek Wiskunde voor het hoger onderwijs, Deel 2, Derde druk, tweede oplage, 1991 uitgegeven door Educaboek wordt op bladzijde 175 worden de complexe getallen ingevoerd als geordende getallenparen van reële getallen met de volgende eigenschappen, waarbij a, b, c en d willekeurige reële getallen voorstellen:

1. (a, b) = (c, d) alleen als a = c en b = d,
2. (a, b) + (c, d) = (a+c, b+d),
3. (a, b) * (c, d) = (ac-bd, ad+bc).

Met deze struktuur wordt de verzameling van complexe getallen C vastgelegd:

C ={(a,b) | a e R ^ b e R},

waarbij

'R' staat voor de verzameling van de reële getallen
'C' staat voor de verzameling van de complexe getallen en
'e' staat voor 'element van'.

Ieder reëel getal a kan men overeen laten komen met het getallenpaar (a,0) e C. Het vermenigvuldigen en optellen voor de getallenparen verloopt dan in C net zoals in R. Als namelijk a == (a,0) en c == (c,0) dan geldt:

(a, 0) + (c, 0) = (a+c, 0) == a + c
en
(a, 0) * (c, 0) = (ac-0.0 ,a.0+0.c) = (ac,0) == ac.

R is dus met het 'oude' optellen en vermenigvuldigen in C terug te vinden in de verzameling van de getallenparen (a,b). Een bijzondheid is dat

(0,b) * (0,b) = (-b²,0) == -b²

en zo is dus ook

(0,2) * (0,2) == -4 en (0,1) * (0,1) == -1.

Het getal (0,1) kan worden afgekort met de letter i.

Tot zover.

Ik had heel veel moeite deze uitleg te begrijpen. Ik ging het wel begrijpen wanneer ik in plaats van

(a, b) + (c, d)

las

(a, b) & (c, d)

en in plaats van

(a, b) * (c, d)

las

(a, b) # (c, d)

waarbij & en # staan voor elk willekeurig symbool niet gelijk aan respectievelijk het gebruikeleke plus-teken en het gebruikeleke maal-teken. Verder lees ik dan '==' als 'komt overeen met'.

Verder leek me de zin:

"Met deze struktuur wordt de verzameling van complexe getallen C vastgelegd:"

Het zou moeten zijn:

"Deze verameling van getallenparen met de gegeven eigenschappen heeft een zekere overeenkomst met de verzameling van de compleze getallen C."

Tenslotte leek me de zin:

"Het getal (0,1) kan worden afgekort met de letter i."

ook onjuist. Volgens mij moet de zin zijn:

"Voor het getallenpaar (0,1) geldt dan:

(0,1) == i."

Klopt het allemaal wat ik zeg?

Ad van
Docent - zondag 19 december 2021

Antwoord

Strikt genomen klopt het niet: het boek definieert de verzameling $\mathbb{C}$ op de bovengegeven wijze en legt daarmee voor het boek vast wat de complexe getallen zijn.

De zin "Met deze struktuur wordt de verzameling van complexe getallen C vastgelegd" is, in de context van het boek correct.

De zin "Deze verameling van getallenparen met de gegeven eigenschappen heeft een zekere overeenkomst met de verzameling van de compleze getallen C." is niet correct want er is geen andere verzameling complexe getallen aanwezig.

Idem voor "Het getal $(0,1)$ kan worden afgekort met de letter $i$." en "Voor het getallenpaar $(0,1)$ geldt dan $(0,1) \mathrel{==} i$." Er is in het boek geen andere $i$ voorhanden.

Ik vermoed dat de bezwaren zijn ingegeven door een eerdere informele invoering van $\mathbb{C}$ als dingen van de vorm $a+bi$ met $a,b\in\mathbb{R}$, waarbij $i$ voldoet aan $i^2=-1$.
Met die informele weergave komt men een heel eind maar er komt een moment dat men $a+bi$ gaat identificeren met $(a,b)$ en dan wordt het tijd even pas op de plaats te maken en een formele definitie van $\mathbb{C}$ te geven, en die staat in de vraag correct beschreven.

Zonder eerdere informele kennismaking met $\mathbb{C}$ is wat in het boek staat geheel correct.

Met een eerdere informele kennismaking zouden de voorgestelde zinnen moeten worden: "Deze verzameling getallenparen met de gegeven eigenschappen heeft alle eigenschappen die wij de verzameling complexe getallen willen toedichten." en "Het paar $(0,1)$ speelt hierbij de rol van $i$."

kphart
zondag 19 december 2021

Re: Getallenparen

©2001-2024 WisFaq