Formule voor de rijsom van een tovervierkant

De som van elke rij in een 3x3 vierkant is 15, bij een 4x4 is dat 34 en bij een 5x5 is dat 65. Nu schijnt hier een formule voor te zijn, namelijk:
0,5n(nē+1)
Maar ik snap deze formule niet, zouden jullie die voor mij kunnen uitleggen?

Groetjes mayo

mayo
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 1 april 2003

Antwoord

Neem een vierkant en vul willekeurig de getallen van 1 tot en met n² in. Noem S(j) de som van rij j.

Enerzijds weet je nu dat S(1)+...+S(n) de som is van alle getallen van 1 tot en met n², want al die getallen komen net 1 maal voor in alle rijen samen.

De som van alle getallen van 1 tot en met m is 1/2 m(m+1), dat is een gekende formule die gemakkelijk aan te tonen is. In ons geval is m = n².

In een correct ingevuld tovervierkant weet je daarenboven dat alle S(j) dezelfde zijn. Dus elke S(j) is het gemiddelde van de som van alle S(j)'s, of S(j)=(S(1)+..S(n))/n. De teller van die breuk hebben we net gevonden. Het eindresultaat is dan de formule die je zelf al gaf.

dinsdag 1 april 2003

©2001-2024 WisFaq