Poisson-proces met kansdichtheidsverdeling

Op een postkantoor komen per 60 minuten gemiddeld 30 klanten binnen. Het aankomstpatroon wordt beschouwt als een Poisson-proces met kansdichtheidsverdeling 𝑓(𝑡) = 𝜆 ∗ 𝑒 −𝜆𝑡 .

e: Het grondtal van de natuurlijke logaritme: 2,71828…
k!: de faculteit van k
𝜆: Dit getal geeft aan wat het verwachte aantal voorvallen in een bepaald tijdsinterval is.

1. Wat is de waarde van λ? Wanneer er van het tijdsinterval van 60 min wordt uitgegaan wordt λ: 30
2. Hoe groot is de kans dat er meer dan 4 minuten moet gewacht op binnenkomst van de volgende klant?
   𝑓(𝑡) = 𝜆 ∗ 𝑒 −𝜆𝑡 : 𝑓(𝑡) = 30 ∗ 𝑒 −30 x 4 =
3. Wat is de Poisson-kans dat er twee klanten tegelijk binnenkomen? Wat zegt dat over het model?

Lucian
Student hbo - dinsdag 23 november 2021

Antwoord

Ik zou dus altijd in minuten werken. Dat werkt doorgaans prettiger.

a. Klopt maar voor mij dus $\lambda$=0,5 per minuut

b. Hier werkt het in minuten dus al prettiger. De kans op een wachttijd van meer dan 4 minuten betekent 0 klanten in 4 minuten. Verwacht aantal in 4 minuten $\mu$ = $\lambda$·t = 0,5·4 = 2 dan P(K=0) = 0,1353.
Hoe dan? Nou ja met een tabel of rekenmachine met Poisson verdeling heb je hem direct. Maar hoe haal je dat nu uit de formule? Dus niet met de gegeven dichtheidsfunctie.

Er zijn twee opties.
# Gebruik de bijbehorende discrete kansfunctie bij een Poisson verdeling. Dat wordt P(K=0) = ($\mu$⁰·e^-$\mu$)/0! = e^-2 = 0,1353
# Of gebruik de verdelingsfunctie van de wachttijd F(t) = 1 - e^{-$\lambda$·t}.
De afgeleide van deze verdelingsfunctie is dus je oorspronkelijke dichtheidsfunctie. Deze verdelingsfunctie geeft aan de kans op een wachttijd $\le$ t. Dus nu is de kans op wachttijd $\le$ 4 = 1-e^-2 = 0,8647
Dan wordt de kans op een wachttijd van meer dan 4 minuten =
1-0,8647 = 0,1353.

c. Precies gelijk heeft (theoretische) kans 0. Dat komt omdat de wachttijd een continue stochast (verdeling) betreft.

Die twee 'nieuwe' formules zullen wel ergens in je lesmateriaal staan.

Met vriendelijke groet
JaDeX

woensdag 24 november 2021

©2001-2024 WisFaq