Voorstel van Huygens

A en B spelen tegen elkaar met 2 stenen, onder de voorwaarde dat A zal winnen als hij 6 ogen gooit (in totaal), maar B zal winnen als hij 7 ogen gooit. A zal eerst een worp gooien; daarna B twee worpen achter elkaar, dan weer A 2 worpen; en zo verder tot dat de een of de ander zal winnen. De vraag is in welke verhouding de kans stat van A tot B.

Volgens mij kun je tot het oneindige door gaan om het antwoord te berekenen.

Ik ben begonnen met:
Kans van A om 6 te gooien is
5/36
De kans van B is dan 31/36·1/6 + 31/36·1/6·185/216
185/216 is 1-(31/36·1/6)
Maar dan de vraag hoe ga ik verder?
Bij voorbaat hartelijk dank.

Rens

Rens v
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 1 april 2003

Antwoord

Ik ga er vanuit dat je met "een worp gooien" bedoelt "een worp van beide stenen".

De kans dat A 6 werpt in zijn eerste beurt is 5/36.
De kans dat A 6 werpt in om het even welke beurt waarin hij 2 maal probeert, is 5/36 + (1-5/36)·5/36 = 335/1296 = p
De kans dat B 7 werpt in om het even welke beurt waarin hij 2 maal probeert, is 1/6 + (1-1/6)·1/6 = 11/36 = q

De kans dat A wint is
= 5/36 + 31/36·(1-q)·p + 31/36·(1-q)^2·(1-p)·p + 31/36·(1-q)^3·(1-p)^2·p + ...
= 5/36 + [31/36·(1-q)·p]·[1+(1-p)(1-q)+(1-p)^2(1-q)^2+...]
= 5/36 + [31/36·(1-q)·p]/[1-(1-p)(1-q)]

De kans dat B wint is
= 31/36·q + 31/36·(1-p)·(1-q)·q + 31/36·(1-p)^2·(1-q)^2·q + ...
= 31/36·q·[1+(1-p)(1-q)+(1-p)^2(1-q)^2+...]
= 31/36·q/[1-(1-p)(1-q)]

Teken desnoods een "kansboom" om jezelf hiervan te overtuigen. De oneindige som die twee maal optreedt is een meetkundige reeks. Ze houdt verband met het feit dat als A nog niet wint en B nog niet wint, je weer in dezelfde situatie zit als voor hun poging.

Vullen we de waarden van p en q in dan is

P[A wint] = 10355/22631 en
P[B wint] = 12276/22631.

Zoals het hoort in P[A wint]+P[B wint]=1.

dinsdag 1 april 2003

©2001-2024 WisFaq