Re: Tweede lid differentiaalvergelijking

Dit is een reactie op vraag 92854

Dag Klaas Pieter,
Bedankt voor je antwoord en je tijd....
In het antwoord van mijn cursus staat:
y=x.(sin(y+C)).
Maar ik heb de indruk dat uw antwoord correct is en ik had toch ook al in die richting gedacht.
Is dit antwoord uit de cursus soms foutief ?
Nog een fijne avond.

Rik Le
Iets anders - zondag 7 november 2021

Antwoord

Het gegeven antwoord klopt, dat kun je zien door invullen:
$$\mathrm{d}y = \sin(y+C)\,\mathrm{d}x+x\cos(y+C)\,\mathrm{d}y
$$Vervang nu $\sin(y+C)$ door $\frac yx$ en $x\cos(y+C)$ door $x\sqrt{1-(\frac yx)^2}=\sqrt{x^2-y^2}$:
$$\mathrm{d}y = \frac yx\,\mathrm{d}x+\sqrt{x^2-y^2}\,\mathrm{d}y
$$vermenigvuldig nu nog met $x$.

Je kunt deze oplossing ook vinden door nog beter naar de omgevormde DV te kijken:
$$\mathrm{d}\left(\frac yx\right)=\sqrt{1-\left(\frac yx\right)^2}\,\mathrm{d}y
$$of
$$\frac1{\sqrt{1-\left(\frac yx\right)^2}}\mathrm{d}\left(\frac yx\right)=\mathrm{d}y
$$met als resultaat $\arcsin\left(\frac yx\right)=y+C$, of $\frac yx=\sin(y+C)$.

Ik denk dat ik bij de eerste oplossing over het hoofd heb gezien dat $x$ en $y$ van elkaar afhangen: $x$ is functie van $y$ (hier hebben we $x=y/\sin(y+C)$) of omgekeerd. Dat maakt de primitivering hier niet van toepassing.

kphart
maandag 8 november 2021

©2001-2024 WisFaq