Re: Eerstegraad differentiaalvergelijking

Dit is een reactie op vraag 92806

dag Klaas Pieter,

Ik heb het tweede deel naar links gebracht en dan geïntegreerd om de gewenste oplossing te bekomen. Dus niet differentiëren maar integreren.
Bij welke soort vergelijkingen moet je dan werken met een hulpvergelijking zoals bijvoorbeeld y=ux en dy/dx=u+xdu ?
Groetjes

Rik Le
Iets anders - dinsdag 26 oktober 2021

Antwoord

Niets moet, maar die substitutie is handig bij zogeheten homogene differentiaalvergelijkingen (dat heeft in eerste instantie niets met lineariteit te maken, maar met de rechterkant van de vergelijking):
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = F(x,y)
$$waarbij $F$ een homogene functie is, en dat is een functie die voldoet aan de eis $F(x,y)=F(tx,ty)$ voor alle $x$, $y$, en $t$.
Bijvoorbeeld
$$F(x,y)=\sin\left(\frac yx\right)
$$als je $y$ en $x$ vervangt door $ty$ en $tx$ kun je de $t$-en wegstrepen.
Als je $y=xu$ invult krijg je, in het algemeen,
$$x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} + u =F(x,xu) = F(1,u)
$$een DV waarin alleen $u$ en $x$ een rol spelen.
In het voorbeeld dus
$$x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} + u =\sin(u)
$$Als je geluk hebt kun je die nieuwe DV oplossen; in het voorbeeld hebben we pech, de nieuwe is niet in formulevorm oplosbaar.

kphart
dinsdag 26 oktober 2021

©2001-2024 WisFaq