Normale verdeling

Beste Wisfaq,

Momenteel zit ik met het volgende vraagstuk

Een instituut onderzoekt de prestaties van studenten voor een economietentamen. Voor studenten met wiskunde in hun vwo-examen geldt dat hun scores beschouwd kunnen worden als een normaal verdeelde variabele x met μ = 68,4 punten en σ = 5,2 punten. Voor studenten zonder wiskunde in hun vwo-pakket is dit een normaal verdeelde variabele met μ = 61,3 en σ = 6,4

Hoe groot is de kans dat zes studenten met wiskunde een gemiddelde score behalen die hoger is dan 70,0 punten?

Ik heb hiervoor de volgende berekening toegepast:
Ox_gem = 5,2/√6 = 2,123
Z = (70-68,4)/2,123 = 0,753650 = 0,2266

Hoe groot is de kans dat acht studenten zonder wiskunde een gemiddelde score behalen die lager is dan 60,0 punten?

Ik heb hiervoor de volgende berekening toegepast:
Ox-gem = 6,4/√8 = 2,2627
Z = (60-61,3)/2,2627 = -0,574534 = 0,7157 = P(X$>$60) = 1-P(X$<$60) = 1-0,7157 = 0,2843

Maar nu komt mijn dilemma:

Hoe groot is de kans dat het verschil tussen de gemiddelde scores van de groepen bij vraag 1 en 2 meer dan 10 bedraagt?

Ik heb hierbij de volgende berekening toegepast, maar ik denk dat ik cruciale stappen vergeet

Z= (70-68,4)/5,2= 0,3076923076 = 0,3483
Z= (60-61,3)/6,4= -0,203125 = 0,4013

Ik weet niet hoe ik nu verder moet. Ik weet dat het verschil van meer dan 10 punten in de berekening meegenomen moet worden, maar ik weet niet zo goed hoe ik dit moet plaatsen

Zouden jullie mij kunnen helpen?

Bij voorbaat dank

Lesley
Iets anders - donderdag 21 oktober 2021

Antwoord

Allereerst een advies: op je notatie is nogal wat aan te merken. Geheid leidt dat wel ergens ook tot fouten. Probeer dat correcter te doen.

Ik bedoel dit: 0,753650 = 0,2266. Strikt genomen staat hier onzin. Dus dat wordt zo een beetje gegoochel. Dat je eerst die Z waarde uitrekent mag uiteraard best. Ik zou die eerste dus als volgt opschrijven:

$\sigma$_Xgem=5,2/√6=2,123
Z=^(70-68.4)/_2,123=0,7537
Tot zover ga ik met je mee, maar nu moet je toch echt terug naar kansnotatie:
P(X$>$70) = P(Z$>$0,7537) = 1-P(Z$\le$0,7537) = 1-0,774 = 0,226

Nu het onderdeel waar je om vraagt. Dat doe je dus met een verschilvariabele.
V=X_w-X_z

Nou is de vraag wanneer dat verschil groter dan 10 is, of ............... kleiner dan -10. Dat laatste is erg onwaarschijnlijk omdat in dat geval degenen zonder wiskunde meer dan 10 punten hoger scoren, maar je moet het toch meenemen.

Dus we zoeken P(V$<$-10)+P(V$>$10)
Het verwacht verschil is $\mu$_V= 68,4-61,3 = 7,1

Maar nu de standaarddeviatie van de verschilvariabele bij de twee groepen van 6 en 8 personen. Daar is een regel voor: dat is dat je daarbij varianties moet optellen, en dus daarbij ook weer delen door √6 resp. √8 en die waardes had je ook al.

Ofwel Var(V) = 2,123² + 2,2627² = 9,627
Dan is dus $\sigma$_V=3,103

Nu de kansen:
P(V$<$-10) = P(Z$<$^(-10-7,1)/_3,103) = P(Z$<$-5,51) = 0
P(V$>$10) = P(Z$>$^(10-7,1)/_3,103) = P(Z$>$0,9346) = 0,175

Beide kansen optellen levert 0,175 en dat zal ook wel het antwoord in het boek zijn, toch?

Met vriendelijke groet
JaDeX

donderdag 21 oktober 2021

©2001-2024 WisFaq