Re: Exacte differentiaalvergelijking oplossen

Dit is een reactie op vraag 92777

Goede avond Klaas Pieter ,
Neen , ik kom er niet uit en kom niet het resultaat uit dat in de cursus staat :
ln((x+y/x))+(x+1)(y²+2)
De eerste term vond ik terug maar de rest klopte niet .
Sorry voor de eventuele overlast!
Goede nacht
Rik

Rik Le
Iets anders - zondag 17 oktober 2021

Antwoord

Het antwoord in de cursus is een `vereenvoudiging' van het antwoord dat je in eerste instantie krijgt:
$$\int M\,\mathrm{d}x = xy^2-\ln x+\ln(x+y) +2x +f(y)
$$de $f(y)$ is de integratieconstante, hier een willekeurige functie van $y$, evenzo
$$\int N\,\mathrm{d}y =\ln(x+y) +xy^2+y^2 + g(x)
$$met $g(x)$ een willekeurige functie van $x$.
Om daar dezelfde functie $F(x,y)$ uit te laten komen moet $f(y)$ de $y^2$ uit de tweede bevatten en $g(x)$ het stuk $2x-\ln x$ uit de eerste. Als we dat nemen krijgen we twee keer
$$xy^2+\ln(x+y) -\ln x+2x+y^2 +C
$$met $C$ een constante. De twee logaritmen samen geven $\ln((x+y)/x)$ (let op je haakjes), en de rest, $xy^2+2x+y^2$ kun je schrijven als $xy^2+y^2+2x+2-2=(x+1)(y^2+2)-2$. Die $-2$ stop je weg in $C$, en daar is het antwoord.

kphart
zondag 17 oktober 2021

©2001-2024 WisFaq