Bepaling limiet via definitie 9

lim x²/(x-2) voor (x$\to$a) = a²/(a-2) met a =/= 2

Definitie : Voor elke e $>$ 0 bestaat er een d $>$ 0
zodat 0 $<$ |x-a| $<$ d impliceert dat |x²/(x-2)-a²/(a-2)| $<$ e

Zij e $>$ 0

We kiezen dan een willekeurige maar vaste a =/= 2

We herschrijven eerst x²/(x-2)-a²/(a-2) als volgt :

x²/(x-2)-a²/(a-2) = [x²(a-2)-a²(x-2)]/[(x-2)(a-2)]
= [(x-a)[x(a-2)-2a]]/[(x-2)(a-2)]
= T(x)/N(x)
waarbij T(x) = (x-a)[x(a-2)-2a] en N(x) = (x-2)(a-2)
respectievelijk de teller en de noemer in verkorte notatie
voorstellen.

We werken nu even verder met T(x) alwaar we de factor x in de term x(a-2) als volgt herschrijven :
x = (x-a)+a
waardoor
T(x) = (x-a)[[(x-a)+a](a-2)-2a]
of
T(x) = (x-a)²(a-2)+(x-a)a(a-4)
en dus
T(x)/N(x) = [(x-a)²(a-2)+(x-a)a(a-4)]/[(x-2)(a-2)]

Dan vervolgens
|x²/(x-2)-a²/(a-2)| = |T(x)/N(x)| = |T(x)|/|N(x)|
met |T(x)| = |(x-a)²(a-2)+(x-a)a(a-4)|
en |N(x)| = |(x-2)(a-2)| = |x-2||a-2)

Kies dan
x groter dan (a+2)/2 als a $>$ 2
of
x kleiner dan (a+2)/a als a $<$ 2
dan volgt in beide situaties
1/|x-2| $<$ 2/|a-2|

Hiervan gebruik makende wordt
|T(x)|/|N(x)| $<$ 2[|(x-a)²(a-2)+(x-a)a(a-4)|]/(a-2)²

Vervolgens focussen we ons op de teller T(x) :
|T(x)| = |(x-a)²(a-2)+(x-a)a(a-4)|
waardoor je kunt stellen dat
|T(x)| $\le$ |(x-a)|².|a-2|+|x-a||a(a-4)|

zodat uiteindelijk
|T(x)/N(x)| $<$ 2(|x-a|².|a-2|+|x-a||a(a-4)|)/(a-2)²

Kies dan d = min{1,|a-2|/2,(a-2)²/[2(|a-2|+|a(a-4)|)]

dan geldt er als 0 $<$ |x-a| $<$ d
dat d² $\le$ d
en (x $>$ (a+2)/2 bij a $>$ 2 of x $<$ (a+2)/2 bij a $<$ 2)
en |x-a|².|a-2|+|x-a|.|a(a-4)| $<$ d²|a-2|+d|a(a-4)|
$\le$ |a-2|d+|a(a-4)|d
= (|a-2|+|a(a-4)|)d
en dus |x²/(x-2)-a²/(a-2)| = |T(x)/N(x)|
$<$ [2d(|a-2|+|a(a-4)|)]/(a-2)² = e

Is dit een correct bewijs en zijn de stappen voldoende duidelijk ?

Met dank !

Rudi
Ouder - zondag 26 september 2021

Antwoord

Het ziet er goed uit maar het kan de moeite waard zijn de uitdrukking wat te vereenvoudigen, bijvoorbeeld
$$\frac{x^2}{x-2}=\frac{x^2-4+4}{x-2}=x+2 + \frac4{x-2}
$$Dan wordt het verschil:
$$(x+2)-(a+2) +\frac4{x-2} -\frac4{a-2} = (x-a)+\frac{4(a-x)}{(x-2)(a-2)}
$$De absolute waarde is, als we dichter dan $\frac12|a-2|$ van $a$ afzitten te overschatten met
$$|x-a|+\frac8{(a-2)^2}|x-a|
$$

kphart
zondag 26 september 2021

©2001-2024 WisFaq