Sophie Germain-getallen

Het gaat over Sophie Germain-getallen, p en 2p+1 zijn beide priem. Voorbeelden: 3 en 7, 5 en 11, 11 en 23, zijn Sophie Germain-paren.

Voor 2-machten geldt: 2³-1 is deelbaar door 7, 2¹¹-1 is deelbaar door 23.

Maar: niet 2⁵-1 maar 2⁵+1 is deelbaar door 11, niet 2²⁹-1 maar 2²⁹+1 is deelbaar door 59.

Dat heeft te maken met de restwaarde van p bij deling door 4. Bij bijv. 5 en 29 is die restwaarde 1, bij bijv. 11 en 131 is die restwaarde 3. Voor zover ik weet is er wiskundig bewijs voor dat dat bij 2-machten zo werkt.

Mijn vraag is nu hoe dit zit bij 3-machten.

Niet 3³-1 maar 3³+1 is deelbaar door 7, maar voor alle hogere Sophie Germain-paren kom ik steeds op min uit: 3⁵-1 (en niet 3⁵+1) is deelbaar door 11, 3¹¹-1 (en niet 3¹¹+23) is deelbaar door 23, 3²⁹-1 (en niet 3²⁹+1) is deelbaar door 59, 3⁵⁰⁸¹-1 (en niet 3⁵⁰⁸¹+1), is deelbaar door 10163 (dat is de laatste die ik tot nu toe heb gecheckt en voor alle tussenliggende Sophie Germain-paren gaat dit op).

Mijn vraag is dus of er Sophie Germain-paren bestaan waarvoor (net als bij p=3) geldt dat niet 3^p-1 maar 3^p+1 deelbaar is door 2p+1, of is er wiskundig bewijs dat dit na p=3 niet meer voorkomt.

Hans S
Iets anders - zondag 19 september 2021

Antwoord

Ik heb het nagelopen tot p=100.000.000 en geen verdere voorbeelden gevonden dat 3^p+1 deelbaar is door 2·p+1.

maandag 20 september 2021

©2001-2024 WisFaq