Verandering van variabelen

In een eenvoudig bolsymmetrisch model is een gasvormige ster opgebouwd uit concentrische bolschillen met massa dm en straal r. De totale massa binnen een straal r is m. Het model beschrijft ook de verandering van allerlei grootheden in de tijd t. Zo is bij voorbeeld de dichtheid rho ter plaatse van een bolschil afhankelijk van r en t.

We willen overgaan van r en t als onafhankelijke variabelen op m en t als onafhankelijke variabelen. In plaats van de partiële afgeleiden (van bij voorbeeld rho) naar r en t zoeken we daarom de partiële afgeleiden naar m en t.

In een boek staat voor de partiële afgeleide van een fatsoenlijke functie naar t:

(^\partial/_{\partial t})bij constante m = ^\partial/_{\partial r}·(^{\partial r}/_{\partial t})bij constante m + (^\partial/_{\partial t})bij constante r

Vraag: hoe kan de geldigheid van deze gelijkheid worden aangetoond?
Vraag: kan ik hier LaTeX-code invoeren voor een nette vormgeving?

Jaap
Student universiteit - zondag 15 augustus 2021

Antwoord

Je kunt LaTeX-code invoeren als gewoon, de site gebruikt mathjax.
Laten we de functie even $F$ noemen, dan zegt de kettingregel
$$\frac{\partial F}{\partial t}=\frac{\partial F}{\partial r}\cdot\frac{\partial r}{\partial t} + \frac{\partial F}{\partial t}\cdot\frac{\partial t}{\partial t}
$$in de notatie die jij bezigt wordt dit als volgt opgeschreven
$$\left(\frac{\partial F}{\partial t}\right)_m=\left(\frac{\partial F}{\partial r}\right)_t\cdot\left(\frac{\partial r}{\partial t}\right)_m + \left(\frac{\partial F}{\partial t}\right)_t\cdot\left(\frac{\partial t}{\partial t}\right)_m
$$Gebruik nu dat $\eqalign{\frac{\partial t}{\partial t}=1}$.

Een schets van een bewijs van de kettingregel kun je op deze pagina vinden.

kphart
maandag 16 augustus 2021

©2001-2024 WisFaq