Moeilijke integraal

Goede morgen,
Ik ben bezig met een lijst van 59,integralen op te lossen en stuit hier bij de 24 st oplossing op een probleem.
Het luidt:
Integer(sin⁴(2x).cos²(2x)dx.
Via splitsing en substitutie op te lossen.
Ik rekende:
I(1-cos²(2x))².cos²(2x)dx
I(1-2cos²(2x)+cos^4(2x)cos²(2x)dx
I(cos²(2x)-2Icos^4(2x)+Icos^6(2x).
Graag een tip als het even kan. Hier loop ik wat verloren..
Met een goede tip gaat het wel lukken via substitutie ,denk ik. Maar ik slaag er niet in....
Groetjes en bedankt voor jullie hulp.
Rik

Rik Le
Iets anders - maandag 26 april 2021

Antwoord

Een mogelijkheid is juist $\cos^22x$ vervangen door $1-\sin^22x$, zodat er
$$\int\sin^42x-\sin^62x\,dx
$$komt, met substitutie $u=2x$ komt er dan
$$\frac12\int\sin^4u-\sin^6u\,du
$$Er is een reductieformule voor $\int\sin^nu\,du$, met partiele integratie:
$$\int\sin^nu\,du = -\sin^{n-1}u\cdot\cos u-\int-(n-1)\sin^{n-2}u\cos^2u\,du
$$Van de laatste maak je $(n-1)\int\sin^{n-2}u(1-\sin^2u)\,du$ en dat levert
$$\int\sin^nu\,du=-\sin^{n-1}u\cdot\cos u +(n-1)\int\sin^{n-2}u\,du-(n-1)\int\sin^nu\,du
$$Breng de $-(n-1)\int\sin^nu\,du$ naar links en je het een formule die $\int\sin^6u\,du$ reduceert tot $\int\sin^4u\,du$, en dat weer tot $\int\sin^2u\,du$.
Even rustig doorwerken dus.

kphart
maandag 26 april 2021

Re: Moeilijke integraal

©2001-2024 WisFaq