Lengte ribben berekenen

De verhouding (ratio) van de lengte, breedte en hoogte van een balk is a:b:c. De verhouding (ratio) van de som van de 12 ribben, de som van de oppervlakte van de 6 zijvlakken en de inhoud van de balk is ook a:b:c. De eenheid is hierbij respectievelijk m, m², en m³. a, b en c zijn gehele getallen.

• Hoe bereken ik a, b en c?

Edo
Leerling bovenbouw vmbo - vrijdag 9 april 2021

Antwoord

Beste Edo,

Dat is niet bepaald een eenvoudige vraag, zeg!

Uiteraard kun je het met proberen voor elkaar krijgen, maar ik heb het rekenwerk me wat laten helpen. We moeten dus hebben:
$$a:b:c = 4(a+b+c):2(ab+ac+bc):abc$$In het bijzonder moeten we hebben:
$$a:c = 4(a+b+c):abc$$Oftewel
$$\frac{4(a+b+c)}{a}=\frac{abc}{c}=ab.$$Hierin kunnen we $c$ vrijmaken, dan krijgen we:
$$c=\frac{a^2b}4-a-b$$Natuurlijk moet ook gelden:
$$b:c = 2(ab+ac+bc):abc$$Oftewel
$$\frac{2(ab+ac+bc)}b=\frac{abc}c=ab.$$Ook hierin kunnen we $c$ vrijmaken, dan krijgen we
$$c=\frac{ab(b-2)}{2(a+b)}.$$Natuurlijk moet $c$ in beide gevallen hetzelfde zijn, dat levert de volgende vergelijking op:
$$\frac{a^2b}4-a-b=\frac{ab(b-2)}{2(a+b)}.$$Als je alle noemers wegwerkt en heel goed kijkt, dan zie je dat je een kwadratische vergelijking in $b$ overhoudt:
$$(a^2-2a-4)b^2 + (a^3-4a)b - 4a^2 = 0.$$en met de abc-formule:
$$b=\frac{-(a^3-4a)\pm \sqrt{(a^3-4a)^2+16a^2(a^2-2a-4)}}{2(a^2-2a-4)}.$$Dus als we $a$ hebben, dan kunnen we - als de wortel bestaat - twee mogelijke $b$ berekenen en dan ook de bijbehorende $c$ met een van onze eerdere formules.

Met wat proberen blijkt dat er met positieve gehele $a$ maar weinig waarden in aanmerking komen. Al gauw duiken $b$ en $c$ in de negatieve getallen of bestaan ze niet. Laten we zeggen dat je voor $a$ aan de vingers van een hand genoeg hebt. Een heel ingetik, dat wel. Ik heb er Excel voor gebruikt. Succes met zoeken!

Als je nog vragen hebt, hoor ik het wel.

Met vriendelijke groet,

zaterdag 10 april 2021

©2001-2024 WisFaq