Re: Definitie hyperbolische afstand

Dit is een reactie op vraag 91816

Ik ben erg blij met uw antwoord, want u verwijst naar hetzelfde artikel als ik bedoelde. Toch nog dit: vanuit die moebiustransformatie komt hij tot die merkwaardige formule met arctangenhyperbolicus. Kan u uitleggen hoe men aan die formule komt?

jan
Iets anders - vrijdag 26 maart 2021

Antwoord

Laten we even op de $x$-as kijken: als $a$ en $b$ op de x-as liggen, voor het gemak even met $0 < a < b$, is hun onderlinge afstand bepaald door $(b-a)/(1-ba)$, let wel: bepaald door, niet gelijk aan (daar glijdt de webpagina een beetje uit).

Nu willen we dat de onderlinge afstand van $a$ en $b$ gelijk is aan het verschil van de afstanden tussen $0$ en $b$, en tussen $0$ en $a$. We moeten dus een functie $F$ bedenken zó dat $F(b)-F(a) = F(\frac{b-a}{1-ab})$.

Nu is het zo dat $\tanh$ voldoet aan
$$\tanh(x-y)=\frac{\tanh x-\tanh y}{1-\tanh x\tanh y}
$$Als we $x=\operatorname{artanh}{}b$ en $y=\operatorname{artanh}{}a$ nemen dan kunnen we de bovenstaande formule omwerken tot
$$\operatorname{artanh}{}b - \operatorname{artanh}{}a = \operatorname{artanh}{}\left(\frac{b-a}{1-ab}\right)
$$Dus die functie werkt prima. De factor $2$ is cosmetisch, elk (positief) veelvoud van de functie levert een metriek.

kphart
zaterdag 27 maart 2021

©2001-2024 WisFaq