Re: Oppervlakte gebied tussen bogen spiraal van Fermat

Dit is een reactie op vraag 91386

Ja dat klopt, maar ik begrijp die stappen niet. Wat doet men daar? Zou u daarover een woordje uitleg kunnen geven?

Kiki
3de graad ASO - dinsdag 19 januari 2021

Antwoord

Je kunt dit oplossen met behulp van herhaalde integralen in poolcoördinaten, maar dat kost wel enige tijd om uit te leggen.
Op een iets andere manier: de vergelijking van de spiraal in poolcoordinaten is $r=a\sqrt\varphi$ een sector bepaald door de spiraal en twee hoeken $\varphi_1$ en $\varphi_2$ zit in tussen twee cirkelsectoren: de een met straal $a\sqrt{\varphi_1}$ (en dus met oppervlakte $\frac12\cdot (a\sqrt{\varphi_1})^2\cdot(\varphi_2-\varphi_1)$), en de ander met straal $a\sqrt{\varphi_2}$ (en dus met oppervlakte $\frac12\cdot( a\sqrt{\varphi_2})^2\cdot(\varphi_2-\varphi_1)$). (Een taartpunt met straal $r$ en hoek $\theta$ heeft oppervlakte $\frac12r^2\theta$.)

Als je het interval $[\varphi_1,\varphi_2]$ in kleine stukjes verdeelt en als boven onder- en bovenschattingen van de oppervlakte maakt zie je Riemann-sommen die horen bij de integraal
$$\int_{\varphi_1}^{\varphi_2}\frac12a^2\varphi\,\mathrm{d}\varphi
$$en die is gelijk aan $\frac14a^2(\varphi_2^2-\varphi_1^2)$.
Voor het deel van zo'n sector tussen twee opvolgende bogen van de spiraal trek je de kleine sector van de grote af, en hier gebruik je dat als de binnenste boog door $\varphi_1$ en $\varphi_2$ bepaald wordt, de volgende door $\varphi_1+2\pi$ en $\varphi_2+2\pi$ bepaald wordt. Dat maakt het aftrekken makkelijk, zie de link hieronder.

Zie Wikipedia: area between arcs

kphart
woensdag 20 januari 2021

©2001-2024 WisFaq