Van recursieve naar directe formule
De rij der kwadraten 1, 4, 9, 16, ... kun je ook voorstellen met de recursieve formule:
u(1)=1, u(2)=4, u(n)=2u(n-1)-u(n-2)+2
Kun je evenwel uit de recursieve formule de directe formule u(n)=n2 afleiden?
Ronny
Docent - dinsdag 10 november 2020
Antwoord
Dat kan, de algemene oplosmethode kun je in het college hieronder zien.
Schrijf de betrekking als
$$u_n-2u_{n-1}+u_{n-2}=2
$$Los eerst het bijbehorende homogene probleem op:
$$u_n-2u_{n-1}+u_{n-2}=0
$$De standaardmethode is $u_n=\lambda^n$ te proberen:
$$\lambda^{n-2}(\lambda^2-2\lambda+1)=0
$$Dat geeft $\lambda=1$ als enige niet-flauwe oplossing, maar wel dubbel.
In eerste instantie krijgen we de constante oplossing $u_n=1$ (vul maar in, het klopt); aangezien dit een tweede-orde betrekking is verwachten we nog een oplossing. De theorie geeft dat $v_n=n$ er ook een is (vul maar in). De algemene oplossing is dan $au_n+bv_n$ ofwel $a+bn$.
Nu nog een particuliere oplossing $w_n$ van het oorspronkelijke probleem maken en de algemene oplossing is daar:
$$w_n+a+bn
$$dan kun je via de beginvoorwaarden $a$ en $b$ bepalen en dus je gezochte oplossing.
Die $w_n$ probeer je eerst als veelvoud van het rechterlid te vinden, maar dat is een oplossing van de homogene dus dat werk niet, dan een veelvoud van $n$ proberen, gaat ook niet, dan $n^2$ en dat werkt (uiteraard) wel.
De methode hierboven leidt onverbiddelijk naar je oplossing $n^2$; in het begin is het raadzaam de methode stap voor stap te doorlopen maar met wat ervaring zie al snel aankomen dat je iets van de vorm $a+bn+cn^2$ moet hebben. Dan komt de oplossing snel.
Zie OCW TU Delft: Recurrente betrekkingen
kphart
dinsdag 10 november 2020
©2001-2024 WisFaq
|