Het verschil tussen kwadraten van priemgetallen

Hoe komt het dat het verschil tussen de kwadraten van willekeurige priemgetallen (met uitzondering van 1, 2 en 3) altijd deelbaar is door 24?

Jan Bo
Iets anders - maandag 19 oktober 2020

Antwoord

Als je een priemgetal door $6$ deelt is de rest altijd $1$ of $5$ (want $6k+i$ is niet priem als $i-0,2,3,4$: altijd even of deelbaar door $3$).
Nu kun je $6k+5$ ook schrijven als $6(k+1)-1$, dus je kunt je priemgetallen $p$ en $q$ ook schrijven als $6n\pm1$ en $6m\pm1$ voor zekere $n$ en $m$.

Bekijk nu
$$p^2-q^2=(p+q)(p-q)
$$maar eens; je moet nu vier gevallen onderscheiden maar telkens vind je een even getal maal een twaalfvoud.

kphart
maandag 19 oktober 2020

©2001-2024 WisFaq