Eigenschappen van 3de- en hogere graadsfuncties

Hallo

Ik heb een vraag over een specifiek eigenschappen in verband met hogere graadsfuncties.

Voorbeeld f(x)=x⁷+5x⁶+x⁴-x³+x²-2 = 0

Eigenschap 1
Hoogste graadterm is 7 dus zijn er: 1,3,5 of 7 mogelijke nulpunten.

Eigenschap 2
f(0) is negatief en f(∞)=+∞ dus er moet minstens één positief nulpunt zijn. Hieruit kun je afleiden dat het totale aantal van echte nulpunten aan de rechter kant oneven moet zijn. En aangezien de rechterkant een oneven aantal nulpunten heeft moet de linkerkant een even aantal nulpunten hebben (0,2,4 of 6).

Alvast bedankt

Duncan
3de graad ASO - dinsdag 8 september 2020

Antwoord

Hallo Duncan,

Voor eigenschap 1 moeten we ons realiseren dat in jouw notatie f(∞)=+∞ en f(-∞)=-∞. De grafiek van f moet een keer vaker stijgend de x-as snijden dan dalend. Daarom is het aantal nulpunten oneven. De grafiek begint immers onder de x-as en eindigt er boven.

Diezelfde redenering werkt ook in eigenschap 2. Omdat f(0)=-2, begint de grafiek "aan de rechterkant" onder de x-as en eindigt er boven. Dus aan die rechterkant is er een oneven aantal nulpunten. Dan blijven er aan de linkerkant een even aantal over.

Met vriendelijke groet,

dinsdag 8 september 2020

©2001-2024 WisFaq