Epsilon delta bewijs

Beste

Ik begin steeds beter de epsilon delta bewijs te begrijpen, maar ik zit vast aan 1 bepaalde stap. Stel we moeten bewijzen dat de limiet x\to2 van x² gelijk is aan 4. Dan moet jij op een gegeven moment zeggen laat delta=min(1,epsilon/5). Ik kan maar niet uitmaken waarom dit het geval is. Alvast bedankt voor uw hulp!

Met vriendelijke groeten
Rafik

Rafik
3de graad ASO - vrijdag 17 juli 2020

Antwoord

Dat is een kunstgreep die uit deze gelijkheid komt:

x^2-4 = (x-2)(x+2)

Hieruit volgt |x^2-4|=|x+2|\cdot|x-2|; daarmee is er een relatie gelegd tussen |x^2-4| en |x-2|.
De factor |x+2| is variabel en die wil je eigenlijk vast hebben.
Als nu geldt dat |x-2| < 1 dan geldt zeker |x+2| < 5 en dan dus ook |x^2-4| < 5|x-2|.
Daarom neemt men \delta als in je vraag.
Als |x-2| < \delta dan gelden er twee dingen: |x-2| < 1 en |x-2| < \varepsilon/5.
Wegens het eerste kunnen we dan zeggen |x^2-4| < 5|x-2| en dankzij het tweede kunnen we dan zeggen |x^2-4| < 5\cdot\varepsilon/5 =\varepsilon.

Het doel is dus de variabele |x+2| door een vast getal te vervangen.

kphart
vrijdag 17 juli 2020

©2001-2025 WisFaq